2015届高三上学期期中考试数学试卷（理科） 时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效．第I卷1．设集合，，若，则A． B． C． D． ） 3.为等差数列的前项和，，则 （ ）A． B． C． D． 4 .下列说法正确的是 （ ）A．命题“，”的否定是“，”B．命题 “已知，若，则或”是真命题 C．“在上恒成立”“在上恒成立”D．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题5．已知a,b,c是三条不同的直线，是三个不同的平面，上述命题中真命题的是A.若a⊥c,b⊥c,则a∥b或a⊥b ( )B.若,,则∥;C.若a,b,c,a⊥b, a⊥c,则；D.若a⊥, b,a∥b,则。6.已知向量=（），=（），则-与的夹角为（ ）A. B. C. D. 7.过点P（0,1）与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 （ ）A. B. C. D. 8.在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对（）的概率是 （ ）A. B. C. D. 9．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 B. C. D. 10.数列的首项为，为等差数列且 .若则，，则= ( )A. 0 B. 3 C. 8 D. 1111.函数（＞2）的最小值 （ ）A. B. C. D. 12.若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A,B）是函数的一个“姊妹点对”。点对（A,B）与（B,A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数 ，则的“姊妹点对”有（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上）１４、由函数围成的几何图形的面积为　　　　　　　　15.已知，，则=___________________.16．以下命题正确的是_____________.①把函数的图象向右平移个单位，得到的图象；②的展开式中没有常数项；③已知随机变量~N(2,4)，若P(＞)= P(＜)，则；④若等差数列前n项和为，则三点，(),()共线。三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（1分）在中,设内角的对边分别为向量,向量,若(1)求角的大小 ；(2)若,且，求的面积.（1分）在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科目.已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表:科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计3912现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.(1)求选出的4 人均选科目乙的概率;(2)设为选出的4个人中选科目甲的人数,求的分布列和数学期望.（1分）是梯形，,,三角形是等边三角形，且平面 平面，,，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值. 20. （12分）已知点F是抛物线C：的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且SF=（）求点S的坐标；（）以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点； ①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由； ②延长NM交轴于点E，若EM=NE，求cos∠MSN的值21. （12分）已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若且对任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题上把所选题目对应的标号涂黑．22（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. （Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线； （Ⅱ）若tan∠CED=,⊙O的半径为3，求OA的长.23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程，方向向量为的直线，圆方程（1）求直线的参数方程（2）设直线与圆相交于两点，求的值24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲(a是常数，a∈R)（Ⅰ）当a=1时求不等式的解集．（Ⅱ）如果函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．数学（理科）参考答案与评分标准 一．选择题:AABBD CDBCB AC二. 填空题:13 . ; 14 . ; 15 . -7 ; 16. ①②④18解:(1)设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件,“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件.由于事 件、相互独立,且, 所以选出的4人均选科目乙的概率为 5分(2)设可能的取值为0,1,2,3.得, ,, 8分的分布列为 ∴的数学期望 19解：（1）连接交于，连接--------------------------------------------------------1分 即-------------------------------------3分 平面不在平面平面--------------------------5分 (2) 如图建立空间坐标系， ----------------------------------------------------8分 设平面的法向量为- -----------------------------------------10分 设平面的法向量为，所以二面角的余弦值为. - --------------------------------12分 20..解：（1）设(＞0)，由已知得F，则SF=， ∴=1，∴点S的坐标是(1,1)----------------- -------2（2）①设直线SA的方程为由得 ∴，∴。 由已知SA=SB，∴直线SB的斜率为，∴， ∴--------------7分 ②设E(t,0)，∵EM=NE，∴，∴ ，则∴- ∴直线SA的方程为，则，同理 ∴-------------12分21解：（1），令，解得当时，，在单调递增；当时，，在单调递减 4分（2）为偶函数，恒成立等价于对恒成立当时，，令，解得①当，即时，在减，在增，解得，②当，即时，，在上单调递增，，符合， 综上， 8分（3） 。。。。。。 12分24．解：（Ⅰ）∴的解为 ．5分 （Ⅱ）由得,．7分令,,作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数有两个不同的零点．10分！第12页 共13页学优高考网！！H否是结束输出数对（x,y）在可行域内任取有序数对（x.y）辽宁省抚顺二中2015届高三上学期期中考试 数学理试题
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