沈阳二中2013――2014学年度上学期期中考试高三（14届）数学（理科）试题 说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 （60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为,集合,,则( )A. B. C. D. 2. 如果等差数列中，，那么14 B. 21 C. 28 D. 353.设,则（　　）A．B．C．D．4. 的三个内角所对的边分别为，（ ）学优A. B． C． D． 5.关于的方程的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为A. B. C. 0 D.7.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为B．C．D．9.双曲线的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是 （ ） A. (－∞，0) B.(1，+∞) C.(－∞，0)∪(1，+∞) D.(－∞，－1)∪(1，+∞)10.已知两点，，点P为坐标平面内一动点，且，则动点到点的距离的最小值为（ ）A.2 B.3 C. 4 D. 611.若实数满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D.12. 的三个内角所对的边分别为，给出下列三个叙述：①②③以上三个叙述中能作为“是等边三角形”的充分必要条件的个数为（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个第Ⅱ卷 （90分） 二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 . 14. 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部与边界).若点是区域内的任意一点,则的取值范围是__________.中，，，则满足的最大正整数的值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）在中，内角所对的边长分别为，，，.求sinC和b的值. 学优18. （本小题满分12分）已知等差数列满足，.（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前n项和.19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，直线l与抛物线相交于不同的两点A，B.l过抛物线的焦点，求的值；（II）如果，证明直线l必过一定点，并求出该定点坐标．20. （本小题满分12分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以为起点,再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.求小波参加学校合唱团的概率求的分布列和数学期望.21. （本小题满分12分）如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点．（Ⅰ的方程；（Ⅱ）求的最小值（用表示）；22. （本小题满分12分）已知函数， (I) 讨论函数的单调性； (Ⅱ)当时≤恒成立，求的取值范围． 14． 15. 16. 12三、解答题17.解：，由正弦定理可得 ……5分 由，得，由，故. ……10分18. 解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 分 （II）设数列，即，所以，当时， 所以综上，数列 （I）由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x中消去x得，y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，＝x1x2＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.（II）设l：x＝ty＋b，代入方程y2＝4x消去x得，y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.∵ ＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.∴直线l过定点(2,0)．解（I）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种,时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为. （II）两向量数量积的所有可能取值为时当时,有种情形时,有8种情形时,有10种情形.所以的分布列为: ……10分. ……12分21. 解：（I）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，. ∴的方程为. ……4分（注：不写区间“”扣1分） www.gkstk.cn 学优（II）由（I）知，曲线的方程为，设， 则有， 即 ① 又，，从而直线的方程为 AP：； BP： ……6分 令得，的纵坐标分别为 ； . ∴ ② 将①代入②， 得 .……8分 ∴ .当且仅当，即时，取等号．即的最小值是.……12分22.解： (I)在单调递增，在单调递增，单调递减……6分 (Ⅱ)等价于在恒成立，当时，，所以在单调递增，，与题意矛盾当时，恒成立，所以在单调递减，所以当时，，所以在单调递增，，与题意矛盾综上所述：……12分辽宁省沈阳二中2014届高三上学期期中考试（数学理）
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