2013—2014学年度第二学期高三年级二调考试数学试卷（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题 共60分）选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知是实数集，，则( ) A． B． C. D． 在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限=（ ）A．4B．2C．D．关于统计数据的分析，以下几个； 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；调查剧院中观众观时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查分层抽样；已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于0.158 7 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为A．2 B．3C．4 D．5已知等比数列{an}的前n项和为，若S=4（a1+a3+a5+…+a2n-1）, a1a2a3=27,则a6=（ ）A.27 B.81 C. 243 D.729（ ）A B.C. D.7. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 （ ）A． B． C． D． 8. 设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且 ，, 则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 9. 在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有， 则 （ ）A． B． C． D．在平面直角坐标系中，记抛物线与x轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线y＝(k＞0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则k的值为（ ）A. B. C. D.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为 ，若直线AC与BD的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 12.已知函数，，若在区间内，函数与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）13.设球的半径为时间的函数，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 的二项展开式中，所有项的二项式系数和为，则该展开式中的常数项为 15. 在△ABC中，边 角，过作，且，则 ． 椭 圆中有如下结论：椭 圆 上斜率为1的 弦 的 中点在直线 上，类比上述结论双曲线 上斜率为1的 弦 的 中点在直线 上 三、解答题（本题满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡相应位置）17.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求边的长．P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，PD，O，E分别为AD，PC的中点O＝AD＝2BC＝2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A-PC-O19. （本题满分12分）今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁。私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力。为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，25，35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成ξ，求随机变量ξ20. （本题满分12分）我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”来庆祝数学学科节的成功举办.其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．求抛物线方程；当“蝴蝶形图案”的面积最小时求的大小.21. （本题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数满足：①对任意的，，当时，有成立；②对恒成立.求实数的取值范围.请在22，23题中任选一题作答，如图，在正ABC中，点D分别在边BC,AC上,且，AD，E相交于点P求证：(I)P、D、C、E共 圆；(II)AP CP. 23．（本题满分10分）已知直线为参数), 曲线 （为参数）.（Ⅰ）设与相交于两点,求；（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值. 15. 15 16. 17.--------6分（Ⅱ）在中,由正弦定理,得,即,解得…分 故,从而在中,由余弦定理,得，所以……………………1分．解法一：（）设，连接,分别是、的中点，则，…1分已知平面，平面，所以平面平面，又，为的中点，则，而平面，所以平面，所以平面，又平面，所以；……3分在中，，；又，所以平面，又平面，所以.……6分（）在平面内过点作交的延长线于，连接，，因为平面所以平面，平面平面所以平面，平面，所以在中，，是中点，故所以平面，则所以是二面角的平面角……10分设，而，，则，所以二面角的余弦值为……12分解法二：因为平面，平面，所以平面平面，又，是的中点，则，且平面，所以平面……2分如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.…4分，，所以……6分（），，设平面的法向量为，则令，得……8分又，，所以平面的法向量，……10分，所以二面角的余弦值为……12分19．解：（）各组的频率分别是……2分所以图中各组的纵坐标分别是……4分……5分（）的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分……10分所以的分布列是：……11分所以的数学期望……12分21.当时，，由于在上单调递减，所以，.同理，.当时，当且仅当时，有成立. ……8分②时，由（1）可得，22.证明：（）在中，由知：≌即所以四点共圆；（II）如图，连结.在中，,,由正弦定理知由四点共圆知，,所以解.（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则. （II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是 ,由此当时,取得最小值,且最小值为.解：（）由得，，即，，。分（）由（）知令，则，的最小值为4，故实数的取值范围是。10分zyxCDEOBAPHFCDEOBAP河北省衡水市2014届高三下学期二调考试 数学理试题
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