金台区命题大赛高三数学（理）试卷

一、(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．复数 在复平面中所对应的点到原点的距离为
A． B． C．1 D．
2．设集合 ，则下列关系中不正确的是
A． B． C． D．
3．给出两个命题：p: x=x的充要条件是x为正实数；q: 存在反函数的函数一定是单调函数.则下列复合命题中的真命题是
A．p且q B．p或q C．┓p且q D．┓p或q
4．设向量 与 的模分别为6和5，夹角为120°，则 等于
A． B． C． D．
5．若 的展开式中 的系数是80，则实数a的值为
A．-2 B． C． D．2
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时， ，那么 的值为
A．3 B．-3 C．2 D．-2
7．若国际研究小组由来自3个国家的20人组成，其中A国10人，B国6人，C国4人，按分层抽样法从中选10人组成联络小组，则不同的选法有（ ）种.
A． B． C． D．
8．函数 在定义域R内可导，若 ，且当 时， ，设 则( )
A． 　　　　B． 　　　C． 　　　D．

9．已知 是 内的一点，且 ，若 和 的面积分别为 ，则 的最小值是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．9

10.已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且 轴，若 为双曲线的一条渐近线，则 的倾斜角所在的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
12．设椭圆 ，右焦点F（c,0），方程 的两个根分别为x1,x2，则点P（x1,x2）在
A．圆 内B．圆 上
C．圆 外D．以上三种情况都有可能
二、题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.)
13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是 ．

14.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：c），可得这个几何体的体积是 ．

15．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12c，深2c的空穴，则该球的表面积为_____________c2.（ ）
16．直线l： 过点 ，若可行域 的外接圆的直径为 ，则实数n的值为________________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17．(本小题满分10分)已知向量 ，记
（1）求f(x)的值域及最小正周期；（2）若 ，其中 ，求角

18．(本小题满分12分)设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以 表示取出次品的个数. 求 的分布列，期望及方差.

19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱 所有棱长都是，是棱 的中点，是棱 的中点， 交 于点
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小（用反三角函数表示）；
（3）求点 到平面 的距离.

20．已知函数 且对于任意实数 ，恒有
（1）求函数 的解析式；
（2）已知函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围；
（3）函数 有几个零点？

21．（本小题满分12分）已知曲线C上任意一点到点F（0，1）的距离比它到直线 的距离小1.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点 当△AOB的面积为 时（O为坐标原点），求 的值.

金台区命题大赛高三数学（理）试卷
命题单位：卧龙寺中学 姓名：张平安
参考答案

1.B 2.D 3.D 4.D 5.D 6.C 7.D 8. B 9. B 10. D 11.A 12 A
13. 4 14. 15． 16．8
17.（1）根据条件可知：

因为f(x)的定义域为
∴f(x)的值域为 ，f(x)的最小正周期为
（2）
所以， ，又因为 ，所以
所以
18． 的可能值为0，1，2. 若 =0表示没有取出次品，其概率为 ；
同理 ∴ 的分布为

012
p

∴ ，
19．（1）证明：建立如图所示，

∵
∴ 即AE⊥A1D， AE⊥BD ∴AE⊥面A1BD
（2）设面DA1B的法向量为
由 ∴取
设面AA1B的法向量为 ，
由图可知二面角D—BA1—A为锐角，∴它的大小为arcos
（3） ，平面A1BD的法向量取
则B1到平面A1BD的距离d=
20. 解：（1） ，
依题意，对任意实数 ，恒有
即
即
所以 ，……………………(1分)

所以 ……………………(2分)
（2）

……………………(3分)
函数 在（0，1）上单调递减，
在区间（0，1） 恒成立……………………(4分)

在（0，1）上恒成立
而 在（0，1）上单调递减
为所求。……………………(6分)
（3） =

令 =0，解得
当 时， 当 时，
当 时， 当 时，
……………………(7分)
……………………(8分)
所以①当 时，函数没有零点；……………………(9分)
②当 时，函数有四个零点；……………………(10分)
③当 或 时，函数有两个零点；……………………(11分)
④当 时，函数有三个零点；……………………(12分)
21．（1） 的距离小于1，
∴点在直线l的上方，点到F（1，0）的距离与它到直线 的距离相等 ，所以曲线C的方程为
（2）当直线的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线的方程为 ，
代入 （*） 与曲线C恒有两个不同的交点 设交点A，B的坐标分别为 ，
则

点O到直线的距离 ，
，
（舍去）
当 方程（*）的解为 若
若 当 方程（☆）的解为
若
若 所以，

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