泰州市～201学年度第学期期末考高数学试题 (考试时间：120分钟 总分160分) 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题上．）1．已知集，，则 ▲ ．2．复数是实数，是虚数单位），则的值为 ▲ ．3．函数的定义域为4．为了解某地区的中小学生视力情况从该地区的中小学生中抽取学生进行调查该地区小学初中高中三个学段学生，，，则从初中抽取的学生人数为 ▲ ．5．算法流程图图，输出的结果是6．中，，若，则的值为 ▲ ．7．将一颗骰子先后抛掷次，观察向上的点数．则点数同的概率是．如图，在正三棱柱中，为棱的中点．若，，则棱的体积为9．的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ▲ ．10．（都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上）①对任意实数，函数在上是单调函数；②存在实数，函数在上不是单调函数；③对任意实数，函数的图像都是中心对称图形；④存在实数，使得函数的图像不是中心对称图形．11．中，若，N*则，仿此类比，可得到等比数列中的一个正确命题：若，N*，则 ▲ ．12．的前项和为，若，且，则的两点绕定点顺时针方向旋转角后，分别到两点，则的值为 ▲ ．14．与函数在区间上都有零点，则的最小值为 ▲ ．二、解答题：（6小题，90分．，．） （本题满分14分）.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）若，求的值.16． （本题满分14分）中，为正三角形，.（1）求证：；（2）若，分别为线段的中点，求证：平面平面.17． （本题满分1分）：和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为．（1）求圆与椭圆的方程；（2）若点是椭圆上一点，求当成等差数列时，面积的最大值.18． （本题满分1分）是，的固定装置，AB上可滑动的点C使垂直于底面（不与重合），且可伸缩（当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面处沿运送至处，货物从处至处运行速度为，从处至处运行速度为．为了使运送货物的时间最短，需在运送前调整运输装置中的大小. （1）当变化时，试将货物运行的时间表示成的函数（用含有和的式子）；（2）当最小时，点应设计在的什么位置？19． （本题满分1分）（其中是非零常数，是自然对数的底），记（，N*）（1）求使满足对任意实数，都有的最小整数的值（，N*）；（2）设函数，若对，N*，都存在极值点，求证：点（，N*）在一定直线上，并求出该直线方程；（注：若函数在处取得极值，则称为函数的极值点.和实数，使且对于N*，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．20． （本题满分1分）是公差不为零的等差数列，数列是等比数列．（1）若（n∈N*），求证：为等比数列；（2）设（n∈N*），其中是公差为2的整数项数列，，若，且当时，是递减数列，求数列的通项公式；（3）若数列使得是等比数列，数列的前项和为，且数列满足：对任意，N*,或者恒成立或者存在正常数，使恒成立，求证：数列为等差数列．～201学年度第学期期末考如图，是是上不同于的两点，过作的切线与的延长线相交于点，与相交于点，．（1）求证：；（2）求证：是的角平分线．B．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵的一个特征根为，它对应的一个特征向量为．（1）求与的值； （2）求．C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）己知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以轴为极轴，为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆是以点为圆心，且过点的圆．（1）求圆及圆在平面直角坐标系下的直角坐标方程；（2）求圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值．D．（本小题满分10分，不等式选讲）已知：，．(1)求证：；(2)求证：．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 己知直线与抛物线相交于两点，且）为轴上任意一点，连并延长抛物线相交于．（1）设斜率为，求证：为定值（2）设与轴交于，令，若等比数列，求的值．如图在三棱柱中，底面为，，顶点在底面内的射影是点，且，点是面一点．（1）若是重心，求与面所成角；是否存在点，使且平面，若存在，求的长度，若不存在，说明理由．一、填空题1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6． ； 7．； 8．； 9．； 10．①③； 11．； 12． ； 13． ； 14．. 二、解答题15.（1）， ………………2分增区间为； ………………6分（2）即，所以， ………………10分或. ………14分16.（1）取BD的中点O，连结EO，CO，∵△ABC为正三角形，且CD=CB∴CO⊥BD，EO⊥BD ………………4分又，∴BD⊥平面EOC，∵平面∴BD⊥EC. ………………7分（2）∵N是AB中点，为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN//BC， ∵BC平面BCE DN平面BCE，∴BC//平面BCE， ………………10分∵M为AE中点，N为AB中点∴MN//BE，∵MN平面BCE，BE平面BCE，∴MN//平面BCE， ………………12分∵MNDN=N，∴平面MND//平面BCE. ………………14分17.解：（1）取PQ的中点D，连OD，OP由，知椭圆C的方程为：，，………………4分（2）设，， ………………6分的长成等差数列，设，由得， ………………分，，. ………………1分易求得椭圆上一点到直线的距离的最大值是，所以的面积的最大值是.………………15分18.解：（1）在中， ………………4分，则， … ……8分（2） ………………10分令，则 ………………12分令得，设 ，则时，；时时有最小值，此时. ………………14分答：当时货物运行时间最短. ………………15分19．（1），，，，，，，. ………………4分（2） ①………………6分存在极值点 ② ………………8分在直线上. ………………9分（3）无解， ………………10分①当时，而当时，单调减，且在上增，上减，恒成立.单调减，而在上在上增，上减，，又在上单调减综上所述，存在，满足条件. ………………13分②当时，，即或2当时（舍）当时单调减，且时，在上增，上减，而使得在上，，在上，在，在上减，在上增，在上减（舍）综上①②所述：存在，满足条件. ………………16分20.（1）证明：，设公差为且，公比为，=常数，为等比数列………3分（2）由题意得：对恒成立且对恒成立，…5分 对恒成立 ………… ……7分对恒成立 ………… ……9分而或或. ………… ……10分（3）证明：设不妨设，，即.………… ……13分若，满足，若，则对任给正数M，则取内的正整数时，，与矛盾.若，则对任给正数T=，则取内的正整数时=与矛盾.，而是等差数列，设公差为，为定值，为等差数列.………… ……16分附加题参考答案21.A．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°而BN=BM△BNM为等腰三角形BD为∠NBM的角平分线∠DBC=∠DBM………………5分（2）BM是⊙O的切线，AM是∠CAB的角平分线………………10分21.B.解：（1）由题意得： ……5分（2）设 即………………10分21.C.解：（1）⊙M：，对应直角坐系下的点为对应直角坐系下的点为，∴⊙N：……5分（2）PQ=MN-3=………………10分21.D.证明：，而，当且仅当时取“=”. ………………5分（2）柯西不等式，由（1）知 ，当且仅当时取“=”.………………10分22.解：（1），，设A1，B1，，同理：…5分（2）A1B1：，构成的等比数列，∴而.………………10分23.解：如图以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz//BC1，以Cz为z轴（1）T是△ABC1重心设面ABC1的法向量为取法向量设TA1与面ABC1所成角为………………5分（2）T在面ABC1内，，即.由得①设面CAA1C1法向量为取设面TA1C1法向量为取，由平面平面得②由①②解得存在点T，TC=.………10分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 13 1 每天发布最有价值的高考资源开始第5题是输出S否n←1，S←0n≤3S←2S+1n←n+1结束第8题NMMBQOF1F2xAPDyl江苏省泰州市届高三上学期期末考试数学试卷（WORD版，有答案）
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