上海市高三年级十三校第二次联考数学(文科)试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分．方程的解是 ．已知函数，则 ．若实数满足，则的最小值为 ．设（为虚数单位），则 则的值为 ． 除以5的余数是 ．若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为 ．等差数列的前项和为，则 ．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496等级为级需要的天数的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为 ．某高中有甲乙等5名同学被一所大学自主招生录取后,大学提供了4个学院给这5名学生选择．假设选择每个学院是等可能的，则这5人中甲乙进同一学院，且每所学院都有学生选择的概率是 ．给定平面上四点满足，则面积的最大值为 ．若集合,若集合中的元素个数为,则实数的取值范围为 ． 14.对于非空实数集，定义。设非空实数集。现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合必有（2）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（3）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（4）对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数，使得对任意的，恒有．以上命题正确的是 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分.15．集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（　　）（A）　　　（B）　　　（C）　　　　　（D）16.函数则函数是（ ）（A）奇函数但不是偶函数 （B）偶函数但不是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数17.若,且．则下列结论正确的是( ) （A）　　　 （B）　　 　（C）　 （D）18.若是以为焦点的双曲线上任意一点,过焦点作的平分线的垂线,垂足的轨迹是曲线的一部分,则曲线是( )（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线三、解答题(本大题共5小题，满分74分)19.(本题满分12分) 设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？ 20.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分） 对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．21.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分） 已知、、为正实数，．（1）当、、为的三边长，且、、所对的角分别为、、．若，且．求的长； （2）若．试证明长为、、的线段能构成三角形，而且边的对角为．22.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）已知抛物线．（1）若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标； （2）抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率； （3）若过点且相互垂直的两条直线,抛物线与交于点与交于点． 证明：无论如何取直线,都有为一常数．23.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题①满分5分，第二小题②满分9分）在数列中，且对任意的成等比数列，其公比为，（1）若；（2）若对任意的成等差数列，其公差为．　　①求证：成等差数列，并指出其公差；　　②若，试求数列的前项和．数学试卷答案（文科）考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分．方程的解是 ．已知函数，则 ． 若实数满足，则的最小值为 4 ．设（为虚数单位），则 则的值为 0 ． 除以5的余数是 3 ．等差数列的前项和为，则 2 ．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496等级为级需要的天数10.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为 11. （文）某高中有甲乙等5名同学被一所大学自主招生录取后,大学提供了4个学院给这5名学生选择．假设选择每个学院是等可能的，则这5人中甲乙进同一学院，且每所学院都有学生选择的概率是 ．12.给定平面上四点满足，则面积的最大值为 ．13.（文）若集合,若集合中的元素个数为,则实数的取值范围为 ． 14．（文）对于非空实数集，定义。设非空实数集。现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合必有（2）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（3）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（4）对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数，使得对任意的，恒有．以上命题正确的是 （1）（4） ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分．15.集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（　B　）（A）　　　（B）　　　（C）　　　　　（D）16.函数则函数是（ A）（A）奇函数但不是偶函数 （B）偶函数但不是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数17.若,且．则下列结论正确的是( D ) （A）　　　 （B）　　 　（C）　 （D）18.(文)若是以为焦点的双曲线上任意一点,过焦点作的平分线的垂线,垂足的轨迹是曲线的一部分,则曲线是( A )（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线三、解答题(本大题共5小题，满分74分)19.（文） （本题满分12分） 设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？解：如图为圆锥轴截面，球心为，可得（3分）（5分）设取出球后，水面高为，则（8分）因为（10分）所以（12分）20.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）对于函数,若在定义域存在实数,满足,则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围。解:(1)为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．即（3分）有解为“局部奇函数”． （5分） (2)当时, 可转化为（8分）因为的定义域为,所以方程在上有解,令,（9分）则因为在上递减,在上递增, （11分）（12分）即（14分）21.（文）（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）已知、、为正实数，。（1）当、、为的三边长，且、、所对的角分别为、、。若，且。求的长。（2）若。试证明长为、、的线段能构成三角形，而且边的对角为。（1）解：由 （3分）（5分）（2）证：由，可得（6分）所以也就是（9分）因此长为的线段能构成三角形，不妨记为。在 中，由余弦定理可设（11分）即又，由的单调性可得（14分）所以边的对角为。22.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）已知抛物线．(1) 若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标;(2) 抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率;(3) (文)若过点且相互垂直的两条直线,抛物线与交于点与交于点．证明：无论如何取直线,都有为一常数．解: (1) 由定义可得定点(1,0); （4分） (2)设,由,得（5分）由方程组,得得（7分）联立上述方程求得:． （9分） (3) （文）由,得,（11分）则,（12分）同理: ,（14分）因此为常数． （16分）23．(文) （本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题①满分5分，第二小题②满分9分）在数列中，且对任意的成等比数列，其公比为，（1）若（2）若对任意的成等差数列，其公差为①求证：成等差数列，并指出其公差;②若，试求数列的前项和解：（1）因为，所以（1分）故是首项为1，公比为4的等比数列，所以（4分）（2）①因为成等差数列，所以而所以（6分）则得所以所以是等差数列，且公差是等差数列，且公差为1． （9分）②因为所以则由，解得：或。（11分）(i) 当时，，所以，则即，得，所以则所以（13分）则，故；（14分）（ii）时，，所以，则即，得，（15分）则所以（17分）则，故（18分）综上所述，或！第1页 共10页学优高考网！！上海市十三校届高三3月第二次联考数学文试题
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