武进区届第一学期期中考试高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合若，则实数的值为 ▲ ． 2．函数的最小正周期是 ▲ ．3．已知两条直线若，则 ▲ ．4．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为 ▲ ．5．已知向量，，.若向量与向量共线，则实数 ▲ ． 6．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：① 若，则；　　 ② 若，则；③ 若，则； 　　④ 若，则.其中正确命题的序号是 ▲ ．（把所有正确的命题序号都填上）7．定义在上的函数满足:，且，则＝ ▲ ． 8．若实数x，y满足，则的最大值是 ▲ ．9．在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ▲ ．10．已知函数，其中．的值域是，则的取值范围是 ▲ ． 11．如图，在正三棱锥A－BCD中，的边长为2，点E是AB的中点，⊥DE，则正三棱锥A－BCD的体积是 ▲ ． 12．已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则的最小值为 ．13. 定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于 ▲ ．14．曲线C：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分1分）中，角所对的边分别为，且求的最值；若，求的．16．（本题满分1分）中，底面为矩形，平面，⑴ 求证：平面平面； ⑵ 在棱上是否存在一点，使得// 平面？如果存在，请找出点并加以证明；如果不存在，请说明理由．17．（本题满分1分）的定义域为.设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为、.⑴ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；⑵ 设点为坐标原点，求四边形面积的最小值.18．（本题满分分）(千米/小时)的函数关系是.⑴ 试将全程运输成本(元)表示为速度的函数；⑵ 为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值.19．（本题满分分）中，，，数列满足.⑴ 求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；⑵ 求数列的前项和；⑶ 设数列满足（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意，都有.20．（本题满分分）已知函数．若，求曲线在点处的切线方程；若，求函数的单调区间设函数．若至少存在，使得成立，求实数的取值范围．届第一学期期中考试 3、 2 4、 21 5、6、①③ 7、 8、 9、 10、11、 12、 13、 2 14、二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分1分）.……3分因为，.………………4分则所以当时，最值.………7分（）由题意知，．又，，.………………10分因为，所以，.………………12分由得．．（本题满分1分）平面，平面， ．………………2分四边形为矩形，， ………………4分，平面． ………………6分 平面平面平面． ………………7分 （2）答：当点为棱中点时，// 平面. ………………9分证明：取棱中点，连接与相交于点，连结．四边形为矩形，为中点． 为棱中点． ． ………………12分平面，平面， 直线//平面． ………………14分 17．（本题满分分）的坐标为，则有，………………2分由点到直线的距离公式得，………………4分，………………6分，即为定值；………………7分（2）由题意可设，知.由与直线垂直，知，即，又，解得，故.………………10分所以，.………………12分所以.当且仅当时等号成立，故四边形面积有最小值.………………14分18．（本题满分1分）………………3分，.………………5分（2），………………7分令（舍去）或，当 当时，，………………9分当时， 时，全程运输成本取得极小值，即最小值；……………………………………12分当时，在上单调递减，所以在时，全程运输成本取得最小值.……………………16分19．（本题满分分），则.∵，∴，即当时，.………………3分又，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.于是，∴.………………5分（2）由（1）得，所以①， ②，………………7分由①－②得，.………………9分（3）∵，∴∴ ①………………11分当n=2k－1，k=1，2，3，……时，①式即为 ②依题意，②式对k=1，2，3……都成立，∴………………13分当n=2k，k=1，2，3，……时，①式即为 ③依题意，③式对k=1，2，3……都成立，∴ ∴，又………………15分∴存在整数，使得对任意有.………………16分20．（本题满分分），． …………………………………………………1分（1）当时，函数，由，．所以曲线在点处的切线方程为，即．………………………………………………………………………4分（2）函数的定义域为． 由，，（?）若，由，即，得或； 由，即，得．……………………6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． ……………………………………8分（?）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………10分（3）使得，则，等价于.令，等价于“当 时，”. ………12分对求导，得. 因为当时，，所以在上单调递增. 故此时，当时，，所以在上单调递减.，又，故此时，…………………………………………………14分综上，，即，所以.………………………16分另解：当时，；当时，.即，所以.另解：设，，.依题意，至少存在一，使得成立 时，. ………………………………………12分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意. ………………………………13分（2）当时，，令得.（?）当，即时，在上，所以在上单调递增，由，所以恒成立……………………………………………………………14分（?）当，即时， 在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，由，所以恒成立…………………………………………15分综上所述，实数的取值范围. ………………………………………16分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 11 1 每天发布最有价值的.11y＝2x.11江苏省常州市武进区届高三上学期期中考试数学文试题
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