届高三年级第五次月考
数 学 试 卷（理）
第Ⅰ卷
一、：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一.（每小题5分，共60分）
1．设集合 =（ ）
A．{1，3}B．{2}C．{2，3}D．{3}
2. 设复数Z满足 ，则 =（ ）
A． B． C．1 D．2
3．设 为两个不同平面，、 n为两条不同的直线，且 有两个命题：
P：若∥n,则 ∥β；q：若⊥β, 则α⊥β. 那么（ ）
A．“p或q”是假命题 B．“p且q”是真命题
C．“非p或q”是假命题 D．“非p且q”是真命题
4. 在平面直角坐标系中，已知向量 若 ，则x=( )
A．-2 B．-4 C．-3 D．-1
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=-18，S13=-52，{bn}为等比数列，且b5 =a5，b7=a7，则b15的值为（ ）
A．64 B．128 C．-64 D．-128
6．设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x>0),则不等式f(x-2)>0的解集为（ ）
A．{xx<-2或x>4} B．{xx<0或x>4} C．{xx<0或x>6} D．{xx<-2或x>2}
7．若将函数y＝tanωx＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tanωx＋π6的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．13 D．12
8．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图
均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如
图，则该几何体的全面积为（ ）
A．2+3 B．2+2
C．8+5 D．6+3
9．已知命题p：函数 在（0，1）
内恰有一个零点；命题q：函数 在 上是
减函数，若p且 为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．a≤2 C． 1<a≤2 D．a≤l或a>2
10．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA= ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．5 B． C．20 D．4
11．设方程lnx=-x与方程ex=-x(其中e是自然对数的底数)的所有根之和为,则（ ）
A．<0 B. =0 C.0<<1 D.>1
12. 函数 对任意 的图象关于点 对称，则 （ ）
A. B. C. D.0
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知关于x, y的二元一次不等式组 ，则3x-y的最大值为__________
14. 曲线 和曲线 围成的图形面积是____________.
15. 如图, 在 中, , 是 边上一点,
,则 的长为 .
16．数列{an}的通项为an=(-1)n 前n项和为Sn, 则S100=_________.
三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．(本小题满分12分)
已知函数f(x)= .
（1）当 时，求 的值域；
（2）若 的内角 的对边分别为 ，且满足 ，
，求 的值.
18.（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和为 ，且 是 和 的等差中项，等差数列 满足 ， .
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
在四棱锥 中， 平面 ， 是正三角形，
与 的交点 恰好是 中点，又 ， ，
点 在线段 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 平面 ;
（3）求二面角 的余弦值．
20. （本小题满分12分）
“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：
且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.
(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
21．（本小题满分12分）
已知函数 ，h（x）=2alnx， 。
（1）当a∈R时，讨论函数 的单调性．
（2）是否存在实数a，对任意的 ，且 ，都有
恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，直线 经过⊙ 上的点 ，并且 ⊙ 交直线 于 ， ，连接 ．
（1）求证：直线 是⊙ 的切线；
（2）若 ⊙ 的半径为3，求 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
已知直线 的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为
（ 为参数）。
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为 ，判断点P与直线 的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线 的距离的最小值与最大值。
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．

届高三第四次月考数学（理）参考答案
1—5.ACDDC， 6—10.BDACA 11.B 12.D
13．5 14. 15. , 16. 150
三．解答题：
17．（本小题满分12分）（1）

， ，
……………6分
（2）由条件得

化简得 由余弦定理得
……………12分
18、（本小题满分12分） （1）∵ 是 和 的等差中项，∴
当 时， ，∴
当 时， ，
∴ ，即 3分
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
∴ ， 5分
设 的公差为 ， ， ，∴
∴ ……………6分
（2）
∴
∵ ,∴
∴数列 是一个递增数列 ∴ .
综上所述， ……………12分
19. （本小题满分12分）证明：(I) 因为 是正三角形， 是 中点，
所以 ,即 ……………1分
又因为 ， 平面 ，
又 ，所以 平面
又 平面 ，所以 ……………4分
（Ⅱ）在正三角形 中，
在 中，因为 为 中点， ，所以
，所以 ，所以 ……………6分
在等腰直角三角形 中， ， ，
所以 ， ，所以 分
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ……………8分
（Ⅲ）因为 ，
所以 ，分别以 为 轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，
所以
由（Ⅱ）可知，
为平面 的法向量 ………………9分
，
设平面 的一个法向量为 ,
则 ，即 ，
令 则平面 的一个法向量为 ……………11分
设二面角 的大小为 ， 则
所以二面角 余弦值为 ……………12分
20．（本小题满分12分）
(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则
S＝200x－(12x2－200x＋80 000)＝－12x2＋400x－80 000＝－12(x－400)2，
所以当x∈[200,300]时，S<0.因此，该项目不会获利.当x＝300时，S取得最大值－5 000，
∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损. ……………6分
(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：
①当x∈[120,144)时，yx＝13x2－80x＋5 040＝13(x－120)2＋240，∴当x＝120时，yx取得最小值240；
②当x∈[144,500)时，yx＝12x＋80 000x－200≥212x•80 000x－200＝200.
当且仅当12x＝80 000x，即x＝400时，yx取得最小值200.∵200<240，
∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低。 ……………12分
21． (1) , f（x）的定义域为（0，+ ……………2分
①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在在 上是增函数。
②当-2＜a≤0时，f（x）在（0，-a）上是增函数；在（-a，2）是是减函数；在 上是增函数。
③当a=-2时，f（x）在（0，+ 上是增函数。
④当a＜-2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，-a）上是减函数；在 上是增函数。 ………… 6分
（2）假设存在实数a，对任意的 ，且 ，都有 恒成立，不妨设0＜x1＜x2，要使 ，即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1。
令g（x）=f（x）+ax= ，只要g（x）在（0，+ 为增函数。
又
由题意 在（0，+ 上恒成立，得a不存在。………………12分
22证明：（Ⅰ）如图，连接OC, OA =OB,CA=CB,
是圆的半径， 是圆的切线． （3分）
（Ⅱ） 是直径，
又
2 （5分）

∽ （7分）
设 ，则 ， …（9分）
（10）分
23．选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）将点 化为直角坐标，得 ，…………………………（2分）
直线 的普通方程为 ，显然点 不满足直线 的方程，
所以点 不在直线 上．…………………………………………………（5分）
（Ⅱ）因为点 在曲线 上，故可设点 ，…………………（6分）
点 到直线 ： 的距离为
，…………………（8分）
所以当 时， ，
当 时， ．
故点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ．……………（10分）
24．选修4－5：不等式选讲

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