数学学科测试（理工类）
2013.4
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为（共40分）和非（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1） 为虚数单位，复数 的虚部是
A． B． C． D .
（2）已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
（3）已知向量 ， .若 ，则实数 的值为
A． B． C． D．
（4）在极坐标系中，直线 与曲线 相交于 两点, 为极点，则 的
大小为
A． B． C． D．
（5）在下列命题中，
①“ ”是“ ”的充要条件；
② 的展开式中的常数项为 ；
③设随机变量 ～ ,若
，则 ．
其中所有正确命题的序号是
A．② B．③
C．②③ D．①③
（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三
视图如图所示，则这个几何体的体积为
A. B. C. D. 8
（7）抛物线 （ ＞ ）的焦点为 ，已知点 ， 为抛物线上的两个动点，且满足 .过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为
A. B. 1 C. D. 2
（8）已知函数 .若 ，使 成立，则称 为函数 的一个“生成点”.函数 的“生成点”共有
A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个
第二部分（非选择题 共110分）
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
（9）在等比数列 中， ，则 ， 为等差数列，且 ，则
数列 的前5项和等于 .
（10）在 中， ， ， 分别为角 ， ，C所对的边.已知角 为锐角，且 ,
则 .
（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .
（12）如图，圆 是 的外接圆，过点C作圆 的切
线交 的延长线于点 .若 ，
，则线段 的长是 ；圆 的
半径是 .
（13）函数 是定义在 上的偶函数，且满足
.当 时， .若在区间 上方程 恰有
四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 .
（14）在平面直角坐标系 中，已知点 是半圆 （ ≤ ≤ ）上的一个动点，点 在线段 的延长线上．当 时，则点 的纵坐标的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题满分13分）
已知函数 （ ）的最小正周期为 .
（Ⅰ）求 的值及函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）当 时，求函数 的取值范围.
（16）（本小题满分13分）
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字 ．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为 ，试求随机变量 的分布列与数学期望 ．
（17）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且 ， ．四边形 满足 ， ， ．点 分别为侧棱 上的点，且 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）当 时，求异面直线 与 所成角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在实数 ，使得平面 平面 ？若存在，
试求出 的值；若不存在，请说明理由．
（18）（本小题满分13分）
已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 在 上有且只有一个零点，求实数 的取值范围.
（19）（本小题满分14分）
已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 过点 ,离心率为 ，点 为其右顶点.过点 作直线 与椭圆 相交于 两点，直线 ， 与直线 分别交于点 ， .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）求 的取值范围.
（20）（本小题满分13分）
设 是数 的任意一个全排列，定义 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）求 的最大值；
（Ⅲ）求使 达到最大值的所有排列 的个数.
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案（理工类）
2013.4
一、选择题：
题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案ADACCD AB
二、题：
题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）
答案 ，
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
. …………………………………………4分
因为 最小正周期为 ，所以 . ………………………………6分
所以 .
由 ， ，得 .
所以函数 的单调递增区间为[ ]， . ………………8分
（Ⅱ）因为 ，所以 ， …………………………………10分
所以 . ………………………………………12分
所以函数 在 上的取值范围是[ ]. ……………………………13分
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则
．
答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是 ．…………………………3分
（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．
由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是 ．
所以 ．
答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为 ．……………7分
（Ⅲ）由题意可知， 的可能取值为 ，所以随机变量 的可能取值为 ．
； ；
； ；
； ．
所以随机变量 的分布列为
所以 ．……………………13分
（17）（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）由已知， ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）因为平面 平面 ，
平面 平面 ，且 ，
所以 平面 .
所以 ， ．
又因为 ，
所以 两两垂直． ……………………………………………………5分
如图所示，建立空间直角坐标系，
因为 ， ，
所以
．
当 时， 为 中点，
所以 ,
所以 ．
设异面直线 与 所成的角为 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．…………………………………9分
（Ⅲ）设 ，则 ．
由已知 ，所以 ，
所以 所以 ．
设平面 的一个法向量为 ，因为 ,
所以 即
令 ，得 ．
设平面 的一个法向量为 ，因为 ,
所以 即
令 ，则 ．
若平面 平面 ，则 ，所以 ，解得 ．
所以当 时，平面 平面 ．…………………………………………14分
（18）（本小题满分1 3分）
解：函数定义域为 ， 且 …………2分
①当 ，即 时，令 ，得 ，函数 的单调递减区间为 ，
令 ，得 ，函数 的单调递增区间为 .
②当 ，即 时，令 ，得 或 ，
函数 的单调递增区间为 ， .
令 ，得 ，函数 的单调递减区间为 .
③当 ，即 时， 恒成立，函数 的单调递增区间为 . …7分
(Ⅱ)①当 时，由(Ⅰ)可知，函数 的单调递减区间为 ， 在 单调递增.
所以 在 上的最小值为 ，
由于 ，
要使 在 上有且只有一个零点，
需满足 或 解得 或 .
②当 时，由(Ⅰ)可知，
（?）当 时，函数 在 上单调递增；
且 ，所以 在 上有且只有一个零点.
（?）当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
又因为 ，所以当 时，总有 .
因为 ，
所以 .
所以在区间 内必有零点.又因为 在 内单调递增，
从而当 时， 在 上有且只有一个零点.
综上所述， 或 或 时， 在 上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为 ，
依题意得 解得 ， .
所以椭圆 的方程为 . ………………………………………………4分
（Ⅱ）显然点 .
（1）当直线 的斜率不存在时，不妨设点 在 轴上方，易得 ， ，所以 . …………………………………………6分
（2）当直线 的斜率存在时，由题意可设直线 的方程为 ，显然 时，不符合题意.
由 得 . 新课 标第 一 网
设 ,则 .
直线 ， 的方程分别为： ，
令 ，则 .
所以 ， . ……………………10分
所以
. ……………………………………………12分
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
综上所述， 的取值范围是 . ……………………………………14分
（20）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ） . ……3分
（Ⅱ）数 的 倍与 倍分别如下：
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为 ，所以 .
对于排列 ，此时 ，
所以 的最大值为 . ……………………………………………………………8分
（Ⅲ）由于数 所产生的 个数都是较小的数，而数 所产生的 个数都是较大的数，所以使 取最大值的排列中，必须保证数 互不相邻，数 也互不相邻；而数 和 既不能排在 之一的后面，又不能排在 之一的前面.设 ，并参照下面的符号排列 △○□△○□△○□△○
其中 任意填入 个□中，有 种不同的填法； 任意填入 个圆圈○中，共有 种不同的填法； 填入 个△之一中，有 种不同的填法； 填入 个△中，且当与 在同一个△时，既可以在 之前又可在 之后，共有 种不同的填法，所以当 时，使 达到最大值的所有排列 的个数为 ，由轮换性知，使 达到最大值的所有排列 的个数为 . ……………………………13分
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