数学（文）试卷
1．如果复数 (其中 )的实部与虚部互为相反数，则 ＝( )
A．2 B． C． D． 1
2．已知命题 ： ， ．则 是( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．“ ”是“直线 垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均
值为1，则样本方差为（ ）
A． B． C． D．2
5．若函数 的图象如右图1，其中 为常数．则函数
的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．在平行四边形 中， 点 在 边上， 则 （ ）
A． B． 1 C． D．
8．设 , ，若 ， ，则 的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知函数 是偶函数，且 ，当 时， ，
则方程 在区间 上的解的个数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上一动点，圆 与 的延长线、 的延长线以及线段 相切，若 为一个切点，则（ ）
A． B．
C． D． 与2的大小关系不确定．
11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人．
12．在面积为1的正方形 内部随机取一点 ，则 的面积大于 的概率是_________．
13．已知集合 ， ,且 ,则 _________．
14．执行如右下图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为 ．
15．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为 ．
正视图 侧视图
俯视图
（第15题图） （第14题图）
16．设 ，其中 满足约束条件 ，若 的最小值 ，则
（Ⅰ）k的值为 ；（Ⅱ） 的最大值为 ．
17．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有__________颗珠宝；则第 件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用 表示)
18．（本题满分12分）
在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，公比为 ，且 ．
（Ⅰ）求 与 ；
（Ⅱ）数列 满足 ，求 的前 项和 ．
19．（本题满分12分）
在如图所示的组合体中，三棱柱 的侧面 是圆柱的轴截面， 是圆柱底面圆周上不与 、 重合的一个点．
（Ⅰ）求证：无论点 如何运动，平面 平面 ；
（Ⅱ）当点 是弧 的中点时，求四棱锥 与圆柱的体积比．
20．（本题满分13分）
如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数 时的图象，且图象的最高点为 ,赛道的中间部分为长 千米的直线跑道CD，且 // ；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧 ．
(Ⅰ)求 的值和 的大小；
(Ⅱ)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个
“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在
半径OD上，另外一个顶点P在圆弧 上，求“矩形
草坪”面积的最大值，并求此时 点的位置.
21．（本题满分14分）
已知函数 的图象为曲线 , 函数 的图象为直线 ．
(Ⅰ) 当 时, 求 的最大值；
(Ⅱ) 设直线 与曲线 的交点的横坐标分别为 且 , 求证： ．
22．（本题满分14分）
抛物线 : 上一点 到抛物线 的焦点的距离为3， 为抛物线的四个不同的点，其中 、 关于y轴对称， ， ， ，
，直线 平行于抛物线 的以 为切点的切线．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ） 到直线 、 的距离分别为 、 ，且 ， 的面积为48，求直线 的方程．
选择：BAADD CCBCB
11．20 12． 13．7 14．23 15．
16．1 ，7 17．66,
1．【解析】 ，故选B．
2．【解析】特称命题的否定是全称命题，故选A．
3．【解析】若直线 垂直，则 ，即 ，选A.
4. 【解析】有题意可得第五个值为 ，方差为 .选D.
5．【解析】由图1知 故选D．
6．【解析】
选C．
7．【解析】法一： .
法二：以 为原点， 所在的边分别为 建立平面直角坐标系，则 故选C．
8．【解析】由题意得： ，
故选B．
9．【解析】由题意可得 ， 函数的周期是4， 可将问题转化为 与 在区间 有几个交点． 画图知，有10个交点,选C．
10．【解析】设圆C与直线 的延长线、 分别相切于点 则由切线的性质可知： 故选B．
11．【解析】 ．新课 标第 一 网
12．【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，以 为底边，要使 的面积大于 ,则为 点到 的距离 ，∴概率为
13．【解析】 ，
14．【解析】 ，∴ ， ， ，∴ ， ， ，∴输出y，∴ ．
15．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分 ，所以该几何体的体积为 ．
16．【解析】作出不等式组表示的平面区域，由题意可知直线 过点
当直线 过点 时， 有最大值
17．【解析】设珠宝数构成了一个数列{an}，则有a1＝1，a2＝a1＋5＝6，a3＝a2＋5＋4＝15，a4＝a3＋5＋2×4＝28，a5＝a4＋5＋3×4＝45，a6＝a5＋5＋4×4＝66，…，
an＝an－1＋5＋4(n－2)，所以an＝a1＋5(n－1)＋4[1＋2＋3＋…＋(n－2)]＝2n2－n.
18．【解答】（Ⅰ）设 的公差为 ，
因为 所以 解得 （舍）或 ， ．
故 ， ．
（Ⅱ） ，
．
19．【解答】（Ⅰ）∵侧面 是圆柱的的轴截面， 是圆柱底面圆周上不与 、 重合的一个点，∴ ，
又圆柱母线 ^平面 ， Ì平面 ，∴ ^ ，
又 ，∴ ^平面 ，
∵ Ì平面 ，∴平面 平面 ；
（Ⅱ）设圆柱的底面半径为 ，母线长度为 ，
当点 是弧 的中点时，
,
， ∴ ．
20．【解答】（Ⅰ）由条件，得 ， ． ∵ ，∴ ．
∴ 曲线段FBC的解析式为 ．
当x=0时， ．又CD= ，∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．当“矩形草坪”的面积最大时，
点P 在弧DE上，故 ．
设 ， ，“矩形草坪”的面积为
= ．
∵ ，故 取得最大值 ．
21．【解答】(Ⅰ)
单调递增， 单调递减，
(Ⅱ)不妨设 ，要证 ,
只需证 （?）
， ，
，
将（?）两边同乘以 得，
，
只需证 ，即证 ，
令 ， ，
只需证 ， ，
令 ， ，
在 单调递增．
，即 ， 在 单调递增．
，即 ，
．
22．【解答】（Ⅰ） QF=3=2+ ， =2．
（Ⅱ） 抛物线方程为 ，
A( )， D( )， B( ) ，C( )，
， ，
，， ，
，
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补， ．
（Ⅲ）设 ，
则m=n=ADsin ， ，
即 ，
把 与抛物线方程 联立得： ，
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