理科数学
本试卷分为第I卷（）和第II卷（非）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 集合 ， ，则
A．
B．
C．
D．
2．设Sn是公差为 的无穷等差数列 的前n项和，则“d < 0”是“数列 有最大项”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．ΔABC中， ， ，若 ，则角C为
A．
B．
C．
D．
4．已知 ，则 展开式中的常数项为
A．20B．-20C．-15D．15
5．正三棱柱ABC―A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
6．已知函数 ，其图象相邻的两条对称轴方程为 与 ，则
A． 的最小正周期为 ，且在 上为单调递增函数
B． 的最小正周期为 ，且在 上为单调递减函数
C． 的最小正周期为 ，且在 上为单调递增函数
D． 的最小正周期为 ，且在 上为单调递减函数
7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的
外接球半径为
A．
B．
C．
D．
8．过抛物线 的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的摄影为C，若 ， ，则抛物线的方程为
A．
B．
C．
D．
9．右面的程序框图，输出结果s的值为
A．
B．
C．
D．
10．在平行四边形ABCD中， ， ，
连接CE、DF相交于点M，若 ，则实数
λ与μ的乘积为
A．
B．
C．
D．
11．已知函数 的两个极值点分别为x1，x2，且 ， ，记分别以m，n为横、纵坐标的点 表示的平面区域为D，若函数 的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为
A．
B．
C．
D．
12．设点P在曲线 上，点Q在曲线 上，则 的最小值为
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡的相应位置上。）
13．若复数 ，则 __________。
14．已知双曲线 的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为
P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。
15．已知平面区域Ω= ，直线l: 和曲线C: 有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为 ，若 ，则实数m的取值范围是__________。
16．已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a = 1,2cosC + c = 2b，则ΔABC的周长的取值范围是__________。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知正项数列满足 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和Tn。
18．（本小题满分12分）
从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高。据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155,160)，第二组[160,165)，… ，第八组[190,195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。
（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180,185)的人数，求X的分布列和数学期望。
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P―ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD = CD = 2AB = 2，E，F分别为PC，CD的中点，DE = EC。
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA = a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角 ，求a的取值范围。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 过点 ，离心率 ，若点 在椭圆C上，则点 称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系，并证明。
21．（本小题满分12分）
已知函数 。
（1）若函数满足 ，且在定义域内 恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数 在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当 时，试比较 与 的大小。
选考题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（本小题满分10分）
选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF?EC。
（1）求证：CE?EB = EF?EP；
（2）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长。
23．（本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为 ，圆C的圆心是 ，半径为 。
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长。
24．（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
设函数 。
（1）解不等式 ；
（2）已知关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围。
2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
数学试卷（理工类）答案及评分标准
一、选择题：
题号123456789101112
答案BABBBCCDCBBD
二、题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17. (Ⅰ)整理得 ……………………………… 4分
又 得 ……………………………… 6分
(Ⅱ)由（1）知 …………………………… 8分
所以 …………………………………… 12分
18. 解: (Ⅰ) 第六组 ???????????????????????????2分
第七组 ???????????????????????????4分
估计人数为 ??????????????????????????6分
(Ⅱ) 可能的取值为0,1, 2, 3. ????????????????????????7分
所以 的分布列
0123
?????????????10分
= . ????????????????????? 12分
19.(Ⅰ) ， 分别为 的中点，
为矩形， ????????????????? 2分
,又
面 , 面 ,
平面 ⊥平面 ????????????????????? 4分
(Ⅱ) ,又 ，
又 ,所以 面 , ??????????????????6分
法一：建系 为 轴， 为 轴， 为 轴,
， ,
平面 法向量 ，平面 法向量 ??????????9分
，可得 . ?????????????12分
法二：连 交 于点 ,四边形 为平行四边形，所以 为 的中点，连 ,
则 , 面 , ,
作 于 点，所以 面 ,
连 ,则 , 即为所求 ????????????? 9分
在 中， ,
解得 ?????????????12 分
20.(Ⅰ)由已知 解得 ， ，方程为 ???????3 分
(Ⅱ) 设 ，则
（1）当直线 的斜率存在时，设方程为
联立得：
有 ①
由以 为直径的圆经过坐标原点O可得： ?
整理得： ②
将①式代入②式得： , ??????????? 6 分
又点 到直线 的距离
?????????? 8 分
所以 ?????????? 10 分
(2) 当直线 的斜率不存在时，设方程为 （ ）
联立椭圆方程得：
代入 得到 即 ，
综上： 的面积是定值
又 的面积 ，所以二者相等. ???????12分
21.(Ⅰ) 由原式 ， ???????????????? 1分
令 ，可得 在 上递减，
在 上递增，所以
即 ???????????????3分
（Ⅱ）
， ，
时，函数 在 单调递增 ???????????????5分
，
，
，
， 必有极值，在定义域上不单调??????????????8分
????????????????9分
（Ⅲ）由(I)知 在(0,1)上单调递减
∴ 时， 即 ???????????????? 10分
而 时，
??????????????? 12分
22.（I）∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ∽
∴ 又∵ ，∴ ???5分
（II） ， ，
是⊙ 的切线， ， ???????10分
23.（Ⅰ）圆 的极坐标方程为： ?????????5 分
（Ⅱ）圆心到直线距离为 ，圆半径为 ，所以弦长为 ??????????? 10分
24.（Ⅰ） 的解集为： ?????????? 5分
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