数 学 （理科）2013.04
本试卷共4页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集 ，集合 ，则
2.已知 为等差数列， 为其前 项和.若 ，则
3.执行如图所示的程序框图．若输出 ， 则框图中
① 处可以填入
4.在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离为
5.下面四个条件中， “函数 存在零点”的必要而不充分的条件是
6. 在△ABC中， ，点 满足条件 ，则 等于
7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥
的四个面的面积中，最大的是
8.设集合 是 的子集，如果点 满足： ，称 为
集合 的聚点.则下列集合中以 为聚点的有：
① ； ② ； ③ ； ④
A.①④B. ②③C. ①②D. ①②④
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 .
10.已知双曲线 的焦距为 ，且过点 ，则它的渐近线方程为 .
11.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能在第一或最后
一步实施，程序B和C在实施时必须相 邻，则实验顺序的编排方法共有 种.(用数字
作答)
12.如图，从圆 外一点 引圆 的切线 和割线 ，
已知 ， ， , 则 ,
圆 的半径等于 .
13.某商品在最近 天内的单价 与时间 的函数关系是
日销售量 与时间 的函数关系是 .则这种商品
的日销售额的最大值为 .
14.已知函数 的定义域是D，若对于任意 ，当 时，都有 ，
则称函数 在D上为非减函数.设函数 在 上为非减函数，且满足以下三个
条件：① ； ② ； ③ .则 ，
.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是 ， ， ，若 且 ，
试判断△ABC的形状．
16.（本小题满分14分）
在四棱锥 中，侧面 ⊥底面 ，
为直角梯形， // ， ，
， ， 为 的中点．
（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；
（Ⅱ）若PC与AB所成角为 ，求 的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．
17.（本小题满分13分）
是指大气中直径小于或等于 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 日均值在 微克/立方米以下空气质量为一级；在 微克/立方米 微克/立方米之间空气质量为二级；在 微克/立方米以上空气质量为超标．
日均值(微克/立方米)
28
37143
4455
638
79
863
925
某城市环保局从该市市区 年全年每天的 监测数据中随机的抽取 天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）从这 天的 日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）从这 天的数据中任取三天数据，记 表示抽到 监测数据超标的天数，求 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据这 天的 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．
18. (本小题满分13分)
已知函数 , .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅲ）当 时，函数 在 上的最大值为 ，若存在 ，使得
成立，求实数b的取值范围.
19. (本小题满分14分)
已知抛物线 的焦点坐标为 ，过 的直线 交抛物线 于 两点，直线 分别与直线 ： 相交于 两点.
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.
20.（本小题满分13分）
对于实数 ，将满足“ 且 为整数”的实数 称为实数 的小数部分，用记号 表示．例如 对于实数 ，无穷数列 满足如下条件：
， 其中
（Ⅰ）若 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）当 时，对任意的 ，都有 ，求符合要求的实数 构成的集合 ；
（Ⅲ）若 是有理数，设 （ 是整数， 是正整数， , 互质），对于大于 的任意正整数 ，是否都有 成立，证明你的结论．
房山区高三年级第一次模拟考试参考答案
数 学 （理科） 2013.04
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1B 2D 3B 4A 5C 6A 7C 8A
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅰ）
………………………………………4分
…………………6分
周期为 ……………………………………7分
（Ⅱ）因为
所以
因为 所以 ……………………………………8分
所以 所以 ……………………………………………………9分
………………………………………11分
整理得 …………………………………………12分
所以 三角形ABC为等边三角形 …………………………………………13分
16. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO
// , , 为 中点
AE//BC，且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形
O为AC中点 ………………………………….………………..1分
又 F为AD中点
// ……………………………………………...….2分
……………...….3分
//平面 ………………………………………..……..…..4分
（Ⅱ）解法一：
………………………….…………………6分
易知 BCDE为正方形
建立如图空间直角坐标系 ， （ ）
则
，…….………8分
解得： …………………………………………………………………….9分
解法二：由BCDE为正方形可得
由ABCE为平行四边形 可得 //
为 即 …………………………………..…5分
……………………………………………………………….…7分
…………………………………………………………………….8分
…………………………………..………9分
（Ⅲ） 为 的中点，所以 ，
,
设 是平面BEF的法向量
则
取 ，则 ，得 ……………………………………………….11分
是平面ABE的法向量 ………………………………………………….12分
………………………………………………….13分
由图可知二面角 的平面角是钝角，
所以二面角 的余弦值为 ．………………………………………….14分
17（本小题满分13分）
（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天
记“从 天的 日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件
则 ……………………………………3分
（Ⅱ） 的可能值为 ， ……………………4分
……………………………………………8分
所以 的分布列为
…………………………………9分
………………………………10分
（Ⅲ） 天的空气质量达到一级或二级的频率为 ………………11分
，
所以估计一年中有 天的空气质量达到一级或二级. ……………… 13分
（说明：答243天，244天不扣分）
18（本小题满分13分）
（Ⅰ）当 时， ……………………1分
………………………………………….…2分
所以曲线 在点 处的切线方程 …………………………….…3分
（Ⅱ） ………4分
①当 时，
解 ，得 ，解 ，得
所以函数 的递增区间为 ，递减区间为在 ………………………5分
② 时，令 得 或
i）当 时，
x )
f’(x)+-+
f(x)增减增
………………………6分
函数 的递增区间为 ， ，递减区间为 ……………………7分
ii）当 时，
在 上 ，在 上 ………………………8分
函数 的递增区间为 ，递减区间为 ………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 ， …………………………………11分
存在 ，使
即存在 ，使 ，
方法一：只需函数 在[1，2]上的最大值大于等于
所以有
即 解得： ………………………………………………13分
方法二：将
整理得
从而有
所以 的取值范围是 . …………………………………………………13分
19（本小题满分14分）
（Ⅰ）由焦点坐标为 可知
所以
所以抛物线 的方程为 …………………………………4分
（Ⅱ）
当直线 垂直于 轴时， 与 相似，
所以 …………………………………….…6分
当直线 与 轴不垂直时，设直线AB方程为 ………………………7分
设 ， ， ， ，
解 整理得 ，
所以 …………………………………………………………….9分
…………………….14分
综上
20（本小题满分13分）
（Ⅰ） ， ……….2分
若 ，则
所以 ……………………………………3分
（Ⅱ） ， 所以 ，从而
①当 ，即 时，
所以
解得： （ ，舍去） ……………….4分
②当 ，即 时， ，
所以
解得 （ ，舍去） ………………5分
③当 时，即 时，
解得 （ ，舍去） ………………6分
综上，集合 ， ， . ………………7分
（Ⅲ）结论成立. ……………………8分
由 是有理数，可知对一切正整数 ， 为0或正有理数，
可设 （ 是非负整数， 是正整数，且 互质）
由 ，可得 ； …………………………………9分
若 ，设 （ ， 是非负整数）
则 ，而由 得
，故 ， ，可得 ………11分
若 则 ，
若 均不为0，则这 正整数 互不相同且都小于 ，
但小于 的正整数共有 个，矛盾.
故 中至少有一个为0，即存在 ，使得 .
从而数列 中 以及它之后的项均为0，
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