2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数 的最小正周期为 ．
【答案】π
【解析】T＝2πω ＝2π2 ＝π．
2．设 （ 为虚数单位），则复数 的模为 ．
【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1， z ＝ ＝5．
3．双曲线 的两条渐近线的方程为 ．
【答案】
【解析】令： ，得 ．
4．集合 共有 个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 ．
【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员第一次第二次第三次第四次第五次
甲8791908993
乙8990918892
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．
【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为： ．
方差为： ．
7．现在某类病毒记作 ，其中正整数 ， （ ， ）可以任意选取，则
都取到奇数的概率为 ．
【答案】
【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则 都取到奇数的概率为 ．
8．如图，在三棱柱 中， 分别是 的中点，设三棱锥 的体积为 ，三棱柱 的体积为 ，则 ．
【答案】1：24
【解析】三棱锥 与三棱锥 的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1：3．所以，三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1：24．
9．抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界) ．若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是 ．
【答案】[—2，12 ]
【解析】抛物线 在 处的切线易得为y＝2x—1，令z＝ ，y＝—12 x＋z2 ．
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(12 ，0)时，zmax＝12 ．
10．设 分别是 的边 上的点， ， ，
若 （ 为实数），则 的值为 ．
【答案】12
【解析】
所以， ， ， 12 ．
11．已知 是定义在 上的奇函数。当 时， ，则不等式 的解集用区间表示为 ．
【答案】(?5，0) ∪(5，?∞)
【解析】做出 ( )的图像，如下图所示。由于 是定义在 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式 ，表示函数y＝ 的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(?5，0) ∪(5，?∞)。
12．在平面直角坐标系 中，椭圆 的标准方程为 ，右焦点为
，右准线为 ，短轴的一个端点为 ，设原点到直线 的距离为 ， 到 的距离为 ，若 ，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图，l：x＝ ， ＝ －c＝ ，由等面积得： ＝ 。若 ，则 ＝ ，整理得： ，两边同除以： ，得： ，解之得： ＝ ，所以，离心率为： ．
13．在平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 （ ）图象上一动点，
若点 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为 ．
【答案】1或
【解析】
14．在正项等比数列 中， ， ，则满足 的
最大正整数 的值为 ．
【答案】12
【解析】设正项等比数列 首项为a1，公比为q，则： ，得：a1＝132 ，q＝2，an＝26－n．记 ， ． ，则 ，化简得： ，当 时， ．当n＝12时， ，当n＝13时， ，故nmax＝12．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知 ， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）设 ，若 ，求 的值．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
a－b2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα?cosβ＋sinα?sinβ)＝2，
所以，cosα?cosβ＋sinα?sinβ＝0，
所以， ．
（2） ，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ．
所以，α－β＝ ，α＝ ＋β，
带入②得：sin( ＋β)＋sinβ＝ cosβ＋12 sinβ＝sin( ＋β)＝1，
所以， ＋β＝ ．
所以，α＝ ，β＝ ．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ，点 分别是棱 的中点．求证：
（1）平面 平面 ；
（2） ．
证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，
所以F为SB的中点．
又E，G分别为SA，SC的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB 面SBC，AC 面ABC，
所以，平面 平面 ．
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF 平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC 平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA 平面SAB，
所以， ．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ．
设圆 的半径为 ，圆心在 上．
（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，
求切线的方程；
（2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐
标 的取值范围．
解：（1）联立： ，得圆心为：C(3，2)．
设切线为： ，
d＝ ，得： ．
故所求切线为： ．
（2）设点M(x，y)，由 ，知： ，
化简得： ，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点 在圆 上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：1≤CD≤3，其中 ．
解之得：0≤a≤125 ．
18．（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径。一种是从 沿直线步行
到 ，另一种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 ．现有甲、乙两
位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为 ．在甲出发 后，乙从
乘缆车到 ，在 处停留 后，再从匀速步行到 ．假设缆车匀速直线运动的
速度为 ，山路 长为 ，经测量， ， ．
（1）求索道 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM?ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝3537 (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：126050 ＝1265 (min)．
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC上用时：865 (min) ．
此时乙的速度最小，且为：500÷865 ＝125043 m/min．
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：1265 －3＝1115 (min)，在BC上用时：565 (min) ．
此时乙的速度最大，且为：500÷565 ＝62514 m/min．
故乙步行的速度应控制在[125043 ，62514 ]范围内．
19．（本小题满分16分）
设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和．记 ，
，其中 为实数．
（1）若 ，且 成等比数列，证明： （ ）；
（2）若 是等差数列，证明： ．
证：（1）若 ，则 ， ， ．
当 成等比数列， ，
即： ，得： ，又 ，故 ．
由此： ， ， ．
故： （ ）．
（2） ，
． (※)
若 是等差数列，则 型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有： ，即 ，而 ≠0，
故 ．
经检验，当 时 是等差数列．
20．（本小题满分16分）
设函数 ， ，其中 为实数．
（1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范围；
（2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论．
解：（1） ≤0在 上恒成立，则 ≥ ， ．
故： ≥1．
，
若1≤ ≤e，则 ≥0在 上恒成立，
此时， 在 上是单调增函数，无最小值，不合；
若 ＞e，则 在 上是单调减函数，在 上是单调增函数， ，满足．
故 的取值范围为： ＞e．
（2） ≥0在 上恒成立，则 ≤ex，
故： ≤1e ．
．
(?)若0＜ ≤1e ，令 ＞0得增区间为(0，1a )；
令 ＜0得减区间为(1a ，?∞)．
当x→0时，f(x)→?∞；当x→?∞时，f(x)→?∞；
当x＝1a 时，f(1a )＝?lna－1≥0，当且仅当 ＝1e 时取等号．
故：当 ＝1e 时，f(x)有1个零点；当0＜ ＜1e 时，f(x)有2个零点．
(?)若a＝0，则f(x)＝?lnx，易得f(x)有1个零点．
(?)若a＜0，则 在 上恒成立，
即： 在 上是单调增函数，
当x→0时，f(x)→?∞；当x→?∞时，f(x)→?∞．
此时，f(x)有1个零点．
综上所述：当 ＝1e 或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜ ＜1e 时，f(x)有2个零点．
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