理科数学
2013．05
全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．
注意事项：
1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．
第一部分
一、题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合 ，则 ▲ ．
2．若复数 是实数，则 ▲ ．
3．已知某一组数据 ，若这组数据的平均数为10，则其方差为 ▲ ．
4．若以连续掷两次骰子得到的点数 分别作为点P的横、纵坐标，则点P在直线 上的概率为 ▲ ．
5．运行如图语句，则输出的结果T＝ ▲ ．
6．若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则双曲线的离心率为 ▲ ．
7．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为 ，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．
8．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，若 在 上为增函数，则 最大值为 ▲ ．
9．已知O是坐标原点，点 ，若点 为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是 ▲ ．
10．数列 中， ， （ 是常数， ），且 成公比不为 的等比数列，则 的通项公式是 ▲ ．
11．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的范围 ▲ ．
12．函数 的图象上关于原点 对称的点有 ▲ ．对.
13．在平面直角坐标系 中，已知点 是椭圆 上的一个动点，点P在线段 的延长线上，且 ，则点P横坐标的最大值为 ▲ ．
14．从 轴上一点A分别向函数 与函数 引不是水平方向的切线 和 ，两切线 、 分别与 轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为 ，△OAC的面积为 ，则 + 的最小值为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）在 中， 分别是 A、 B、 C的对边，若 ， ， 的面积为 ，求 的值.
16．（本小题满分14分）
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．
（1）求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；
（2）若 ，AB=BC=2，P为AC中点，求三棱锥 的体积。
17．（本小题满分15分）
某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为 亿元，其中用于风景区改造为 亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少 亿元，至多 亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。
（1）若 ， ，请你分析能否采用函数模型y＝ 作为生态环境改造投资方案；
（2）若 、 取正整数，并用函数模型y＝ 作为生态环境改造投资方案，请你求出 、 的取值．
18．（本小题满分15分）
椭圆 的右焦点为 ，右准线为 ，离心率为 ，点 在椭圆上，以 为圆心， 为半径的圆与 的两个公共点是 ．
（1）若 是边长为 的等边三角形，求圆的方程；
（2）若 三点在同一条直线 上，且原点到直线 的距离为 ，求椭圆方程．
19．（本小题满分16分）
已知函数 ， ，（ ）．
（1）求函数 的极值；
（2）已知 ，函数 ， ，判断并证明 的单调性；
（3）设 ，试比较 与 ，并加以证明．
20．（本小题满分16分）
设满足以下两个条件的有穷数列 为 阶“期待数列”：
① ；② ．
（1）若等比数列 为 ( )阶“期待数列”，求公比 ；
（2）若一个等差数列 既是 ( )阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记 阶“期待数列” 的前 项和为 ：
（?）求证： ；
（?）若存在 使 ，试问数列 能否为 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．
第二部分（加试部分）
（总分40分，加试时间30分钟）
注意事项：
答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效．
21．B 选修4 - 2：矩阵与变换（本题满分10分）
已知矩阵 ，向量 ．求向量 ，使得 ．
21．C 选修4 - 4：坐标系与参数方程（本题满分10分）
在直角坐标系 内，直线 的参数方程为 为参数 ．以 为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .判断直线 和圆 的位置关系.
22．（本题满分10分）
某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成。
（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）若考生乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响。试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
23．（本题满分10分）
（1）设 ，试比较 与 的大小；
（2）是否存在常数 ，使得 对任意大于 的自然数 都成立？若存在，试求出 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由。
参考答案
第一部分
2013．05
1． 2． 3． 24．
5．6256． 7． 8．
9． 10． 11．
12．3
13．
提示：设 ，由 ，得 ，
= = = ，
研究点P横坐标的最大值，仅考虑 ，
（当且仅当 时取“=”）．
14．8
提示： ，设两切点分别为 ， ，（ ， ），
： ，即 ，令 ，得 ；
令 ，得 ．
： ，即 ，令 ，得 ；令 ，得 ．
依题意， ，得 ，
+ = = = ，
= ，可得当 时， 有最小值8．
15． 解：（1）
4分
6分
（2）由 ， ，
又 的内角， ，
， 8分
， ， ， 11分
， 14分
16．证：直三棱柱ABC-A1B1C1中，A A1⊥平面ABC，
∴A A1⊥BC，
∵AD⊥平面A1BC，
∴AD⊥BC，
∵A A1 ，AD为平面ABB1A1内两相交直线，
∴BC⊥平面ABB1A1，
又∵ 平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面ABB1A1
7分
(2) 由等积变换得 ，
在直角三角形 中，由射影定理( )知 ，
∵ ，
∴三棱锥的高为 10分
又∵底面积 12分
∴ = 14分
法二：连接 ，取 中点 ，连接 ，∵P为AC中点，
, , 9分
由（1）AD⊥平面A1BC，∴ ⊥平面A1BC，
∴ 为三棱锥P- A1BC的高，11分
由（1）BC⊥平面ABB1A1 ， 12分
，14分
17．解：（1）∵ ，
∴函数y＝ 是增函数，满足条件①。3分
设 ，
则 ，
令 ，得 。
当 时， ， 在 上是减函数；
当 时， ， 在 上是增函数，
又 ， ，即 ， 在 上是增函数，
∴当 时， 有最小值0.16=16%>15%，
当 时， 有最大值0.1665=16.65%<22%,
∴能采用函数模型y＝ 作为生态环境改造投资方案。9分
（2）由(1)知 ，
依题意，当 ， 、 时， 恒成立；
下面求 的正整数解。
令 ，12分
由(1)知 ， 在 上是减函数，在 上是增函数，
又由（1）知，在 时， ，且 =16%∈[15%，22%]，
合条件，经枚举 ， ∈[15%，22%]，
而 [15%，22%]，可得 或 或 ，
由 单调性知 或 或 均合题意。15分
18．解：设椭圆的半长轴是 ，半短轴是 ，半焦距离是 ，
由椭圆 的离心率为 ，可得椭圆 方程是 ，2分
（只要是一个字母，其它形式同样得分，）
焦点 ，准线 ，设点 ，
（1） 是边长为 的等边三角形，
则圆半径为 ，且 到直线 的距离是 ，
又 到直线 的距离是 ，
所以， ， ，
所以
所以，圆的方程是 。6分
（2）因为 三点共线，且 是圆心，所以 是线段 中点，
由 点横坐标是 得， ，8分
再由 得： ， ，
所以直线 斜率 10分
直线 ： ， 12分
原点 到直线 的距离 ，
依题意 ， ，所以 ，
所以椭圆的方程是 ．15分
19．解：（1） ，令 ，得 ．
当 时， ， 是减函数；
当 时， ， 是增函数．
∴当 时， 有极小值 ， 无极大值．4分
（2）
= = ，
由（1）知 在 上是增函数，
当 时， ，
即 ，
∴ ，即 在 上是增函数．10分
（3） ，由（2）知， 在 上是增函数，
则 ，
令 得， ．16分
20．解：（1）若 ，则由① =0，得 ，
由②得 或 ．
若 ，由①得， ，得 ，不可能．
综上所述， ．
（2）设等差数列 的公差为 ， >0．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ >0，由 得 ， ，
由题中的①、②得 ，
，
两式相减得， ， ∴ ，
又 ，得 ，
∴ ．
（3）记 ， ，…， 中非负项和为 ，负项和为 ，
则 ， ，得 ， ，
（?） ，即 ．
（?）若存在 使 ，由前面的证明过程知：
， ，…， ， ， ，…， ，
且 … ．
记数列 的前 项和为 ，
则由（?）知， ，
∴ = ，而 ，
∴ ，从而 ， ，
又 … ，
则 ，
∴ ，
与 不能同时成立，
所以，对于有穷数列 ，若存在 使 ，则数列 和数列 不能为 阶“期待数列”．
第二部分（加试部分）
21．B 解： ，4分
设 ，由 得 ，
即 ，8分
解得 ，所以 10分
21．C 解: 将 消去参数 ，得直线 的直角坐标方程为 ； 3分
由 ,即 ，
两边同乘以 得 ，
所以⊙ 的直角坐标方程为： 7分
又圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 和⊙ 相交． 10分
22．解：（Ⅰ）设考生甲正确完成实验操作的题数分别为 ，
则 ，所以 ， 2分
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
123
；4分
（Ⅱ）设考生乙正确完成实验操作的题数为 ，则
，所以 ， 6分
又 且 ，8分
从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，
因此可以判断甲的实验操作能力较强。10分
23．解：（Ⅰ）设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
故函数 有最小值 ，则 恒成立4 分
（Ⅱ）取 进行验算：
猜测：① ，
②存在 ，使得 恒成立。6分
证明一：对 ，且 ，
有
又因 ，
故 8分
从而有 成立，即
所以存在 ，使得 恒成立 10分
证明二：
由（1）知：当 时， ，
设 ， ，
则 ，所以 ， ， ，
当 时，再由二项式定理得：
即 对任意大于 的自然数 恒成立，8分
从而有 成立，即
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