高2013届第三次模拟考试
数学（理）试题
命题学校：师大附中 审题学校：西安中学
第Ⅰ卷 （ 共50分）
一、(本大题共10题,每小题5分,共50分)
1.若集合 , ,则 【 】.
A. B. C. D.
2.若复数 满足: ,则复数 的共轭复数 【 】.
A. B. C. D.
3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【 】.
4.若 的三个内角满足 ,则 【 】.
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
5.函数 是【 】.
A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数
6.按右面的程序框图运行后,输出的 应为【 】.
A. B.
C. D.
7.若数列 满足 ,且 ,则使 的 值为【 】.
A. B. C. D.
8.“ ”是“直线 : 与 : 平行”的【 】.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设 , 分别为双曲线 的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点 ,满足 ,且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【 】.
A. B. C. D.
10.一个赛跑机器人有如下特性：
(1)步长可以人为地设置成 米, 米, 米,…, 米或 米；
(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成；
(3)当设置的步长为 米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔 秒．
则这个机器人跑 米(允许超出 米)所需的最少时间是【 】.
A. 秒 B. 秒
C. 秒 D. 秒
第Ⅱ卷 （共100分）
二、题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.在 的展开式中,常数项为 .
12.若向量 , ,则 的最大值为 .
13.若实数 满足 ,且 ,则 的取值范围是________.
14.若曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 ,则 ________.
15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.
A.(不等式选讲)若实数 满足 ,则 的最大值为_________.
B.(几何证明选讲)以 的直角边 为直径的圆 交 边于点 ,点 在 上,且 与圆 相切.若 ,则 _________.
C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线 与直线 的两个交点之间的距离为_________.
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 .
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ .
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 ；
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
17.(本题12分)如图,在长方体 中, 点 在棱 上.
(1)求异面直线 与 所成的角；
(2)若二面角 的大小为 ,求点 到面 的距离.
18.(本题12分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从 道备选题中一次性随机抽取 道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 道题的便可通过.已知 道备选题中考生甲有 道题能正确完成, 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响.
(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.
19.(本题12分)在数列 中, ,且对任意的 都有 .
(1)求证: 是等比数列；
(2)若对任意的 都有 ,求实数 的取值范围.
20.(本题13分) 已知椭圆 : 的离心率为 ,过右焦点 且斜率为 的直线交椭圆 于 两点, 为弦 的中点, 为坐标原点.
(1)求直线 的斜率 ；
(2)求证:对于椭圆 上的任意一点 ,都存在 ,使得 成立.
21.(本题14分)设函数 有两个极值点 ,且 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若对任意的 ,都有 成立,求实数 的取值范围.
高2013届第三次五校联考数学(理)参考答案
一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)
题号12345678910
答案ABDCCCDABA
二、题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11. 12. 13. 14. 15. A. B. C.
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本题12分)
解:(1)选择②式计算: .…4分
(2)猜想的三角恒等式为: .………6分
证明:
.………………………………12分
17.(本题12分)
解法一:(1)连结 .由 是正方形知 .
∵ 平面 ,
∴ 是 在平面 内的射影.
根据三垂线定理得 ,
则异面直线 与 所成的角为 .…………5分
(2)作 ,垂足为 ,连结 ,则 .
所以 为二面角 的平面角, .
于是 ,
易得 ,所以 ,又 ,所以 .
设点 到平面 的距离为 ,则由于
即 ,
因此有 ,即 ,∴ .…………12分
解法二:如图,分别以 为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系.
(1)由 ,得 ,
设 ,又 ,则 .
∵ ∴ ,
则异面直线 与 所成的角为 .……………………5分
(2) 为面 的法向量,设 为面 的法向量,则
,
∴ . ①
由 ,得 ,则 ,即 ,∴ ②由①、②,可取 ,又 ,
所以点 到平面 的距离 .……………12分
18.(本题12分)
解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 , ,则 取值分别为 ； 取值分别为 .
, , .
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
123
.…………………………3分
∵ ,
同理: , , .
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:
0123
.………………7分
(2)∵ ,
.（或 ）.
∴ .
∵ , ,
∴ .……………10分
从做对题数的数学期望考察,两人水平相当；从做对题数的方差考察,甲较稳定；从至少完成 道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.……………………12分
说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.
19.(本题12分)
证:(1)由 ,得 .
又由 ,得 .
因此, 是以 为首项,以 为公比的等比数列.………5分
解:(2)由(1)可得 ,即 , ,
于是所求的问题:“对任意的 都有 成立”可以等价于问题:“对任意的 都有 成立”.
若记 ,则 显然是单调递减的,故 .
所以,实数 的取值范围为 .………………………12分
20.(本题13分)
解:(1)设椭圆的焦距为 ,因为 ,所以有 ,故有 .
从而椭圆 的方程可化为:
①易知右焦点 的坐标为( ),据题意有 所在的直线方程为: .
②由①,②有: .
③设 ,弦 的中点 ,由③及韦达定理有:
所以 ,即为所求. ………5分
(2)显然 与 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量 ,有且只有一对实数 ,使得等式 成立.设 ,由(1)中各点的坐标有:
,故 . ……7分
又因为点 在椭圆 上,所以有 整理可得:
. ④
由③有: .所以
⑤又点 在椭圆 上,故有 .
⑥将⑤,⑥代入④可得: . ………11分
所以,对于椭圆上的每一个点 ,总存在一对实数,使等式 成立,且 .
所以存在 ,使得 .也就是:对于椭圆 上任意一点 ,总存在 ,使得等式 成立. ………13分
21.(本题14分)
解:(1)由 可得 .
令 ,则其对称轴为 ,故由题意可知 是方程 的两个均大于 的不相等的实数根,其充要条件为 ,解得 .……………………5分
(2)由(1)可知 ,其中 ,故
①当 时, ,即 在区间 上单调递增；
②当 时, ,即 在区间 上单调递减；
③当 时, ,即 在区间 上单调递增.………9分
(3)由(2)可知 在区间 上的最小值为 .
又由于 ,因此 .又由
可得 ,从而 .
设 ,其中 ,
则 .
由 知: , ,故 ,故 在 上单调递增.
所以, .
所以,实数 的取值范围为 .……………………………14分
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