2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（理科）
一、：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设集合 ，集合 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．如图，在复平面内，点 表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
4．设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集．若命题 ，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．函数 的部分图象如图所示，则 的值分别是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．函数 的图象大致是（ ）
8．从 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 ，共可得到 的不同值的个数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．设函数 （ ， 为自然对数的底数）．若曲线 上存在 使得 ，则 的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．二项式 的展开式中，含 的项的系数是_________．（用数字作答）
12．在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， ，则 _________．
13．设 ， ，则 的值是_________．
14．已知 是定义域为 的偶函数，当 ≥ 时， ，那么，不等式 的解集是________ ．
15．设 为平面 内的 个点，在平面 内的所有点中，若点 到 点的距离之和最小，则称点 为 点的一个“中位点”．例如，线段 上的任意点都是端点 的中位点．则有下列命题：
①若 三个点共线， 在线段上，则 是 的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分) 在等差数列 中， ，且 为 和 的等比中项，求数列 的首项、公差及前 项和．
17．(本小题满分12分) 在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求向量 在 方向上的投影．
18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 在 这 个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 的值为 的概率 ；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 次后，统计记录了输出 的值为 的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
运行
次数
输出 的值
为 的频数
输出 的值
为 的频数
输出 的值
为 的频数
甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）
运行
次数
输出 的值
为 的频数
输出 的值
为 的频数
输出 的值
为 的频数
当 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 的值为 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出 的值为2的次数 的分布列及数学期望．
19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， 分别是线段 的中点， 是线段 的中点．
（Ⅰ）在平面 内，试作出过点 与平面 平行的直线 ，说明理由，并证明直线 平面 ；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 交 于点 ，交 于点 ，求二面角 的余弦值．
20．(本小题满分13分) 已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ，且椭圆 经过点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是线段 上的点，且 ，求点 的轨迹方程．
21．(本小题满分14分)已知函数 ，其中 是实数．设 ， 为该函数图象上的两点，且 ．
（Ⅰ）指出函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线互相垂直，且 ，求 的最小值；
（Ⅲ）若函数 的图象在点 处的切线重合，求 的取值范围．
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