2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料
（理科）
说明：
⒈ 本训练题由广州市中学数学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题．
⒉ 本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．
3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．x
希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！
1.已知函数 ， 的最大值是1，其图像经过点
．
（1）求 的解析式；
（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
2. 设函数 .
（1）若 是函数 的一个零点，求 的值；
（2）若 是函数 的一个极值点，求 的值.
3. 在 中，内角 所对的边长分别是 , 已知 ， .
（1）求 的值；
（2）若 为 的中点，求 的长.
4. 一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35 海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．
（1）求角α的正弦值；
（2）求缉私艇追上走私船所需的时间．
5. 某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记 表示抽到“极幸福”的人数，求 的分布列及数学期望．
6.汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2014年开始，将对 排放量超过
的 型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类 型品牌车各抽取 辆进行
排放量检测，记录如下(单位： ).
甲80110120140150
乙100120
160
经测算发现，乙品牌车 排放量的平均值为 ．
（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合 排放量的概率是多少？
（2）若 ，试比较甲、乙两类品牌车 排放量的稳定性．
7．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为 ．
（1）求 的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 ．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
8．如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， 底
面 ， ， 分别为 的中点．
（1）求证： ；
（2）求 与平面 所成的角的正弦值．
9．一个三棱锥 的三视图、直观图如图．
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求点C到平面SAB的距离；
10．如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，矩形 所在的平面
和圆 所在的平面互相垂直，且 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）设 的中点为 ，求证： 平面 ；
（3）设平面 将几何体 分成的两个锥体
的体积分别为 ， ，求 ．
11.已知等比数列 的公比 ， ，且 、 、 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 （单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 ；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当 时，车流速度 是车流密度 的一次函数．
(1)当 时，求函数 的表达式；
(2)当车流密度 为多大时，车流量 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. (车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ，
第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率
为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？
（精确到１立方米, ）
14. 已知抛物线 与双曲线 有公共焦点 ，点
是曲线 在第一象限的交点，且 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）以双曲线 的另一焦点 为圆心的圆 与直线 相切，圆 ：
．过点 作互相垂直且分别与圆 、圆 相交的直线 和 ，设 被圆 截得的弦长为 ， 被圆 截得的弦长为 ． 是否为定值？请说明理由．
15. 如图，长为m＋1（m＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上一点，且→AM＝m→MB．
（1）求点M的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；
（2）设过点Q(12，0)且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C、D两点．
试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分∠CPD？若存在，求点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
16.已知数列 的前 项和的平均数为
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，试判断并说明 的符号；
（3）设函数 ，是否存在最大的实数 ? 当 时，对于一切非零自然数 ，都有
17. 数列 满足 ，且 时， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证对任意的正整数 都有
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）试讨论函数 的单调性．
19.已知函数 的图像在点 处的切线方程为 .
（1）用 表示出 ；
（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围；
（3）证明： .
20.如图,已知直线 及曲线 上的点 的横坐标为 ( ).从曲线 上的点 作直线平行于 轴，交直线 作直线平行于 轴，交曲线 的横坐标构成数列 .
(1)试求 的关系;
(2)若曲线 的平行于直线 的切线的切点恰好介于点 之间
(不与 重合),求 的取值范围;
(3)若 ,求数列 的通项公式.
21. 已知函数 的导函数是 , 对任意两个不相等
的正数 , 证明: (1)当 时, ;
(2)当 时, .
22. 对于函数 ，若存在 ∈R，使 成立，则称 为 的不动点．
如果函数 ＝ 有且仅有两个不动点0和2．
（1）试求b、c满足的关系式；
（2）若c＝2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn? ＝1，
求证： ＜ ＜ ；
（3）在(2)的条件下, 设bn＝－ ， 为数列{bn}的前n项和，
求证： ．
23.已知定义在 上的单调函数 ，存在实数 ，使得对于任意实数 ，总有 恒成立．
（1）求 的值；
（2）若 ，且对任意正整数 ，有 ，
记 ，比较 与 的大小关系，并给出证明．
24. 已知函数 ，设 在点 N*）处的切线在 轴上的截距为 ，数列 满足： N*）．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中，仅当 时， 取最小值，求 的取值范围；
（3）令函数 ，数列 满足： ， N*），
求证：对于一切 的正整数，都满足： ．
2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案
1.解：（1）依题意有 ，则 ，将点 代入得 ，
而 ， ， ，故 .
（2）依题意有 ，而 ，
，
.
2. 解：（1） 是函数 的一个零点, ∴ , 从而 .
∴
（2） , 是函数 的一个极值点
∴ , 从而 .
∴ .
3. 解：（1） 且 ，∴ ．
∴
．
（2）由（1）可得 ．
由正弦定理得 ，即 ，解得 ．
在 中， ， ，∴ ．
4. 解：（1）设缉私艇追上走私船所需的时间为t小时，
则有BC＝25t，AB＝35t，
且∠CAB＝α，∠ACB＝120°，
根据正弦定理得： ，
即 ， ∴ sinα＝ ．
（2）在△ABC中由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB，
即 （35t）2＝152＋（25t）2－2?15?25t?cos120°，即24t2?15t?9＝0，
解之得：t=1或t=－ （舍）
故缉私艇追上走私船需要1个小时的时间．
5.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75
（2）设 表示所取3人中有 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件 ，则
（3） 的可能取值为0、1、2、3.
；
；
高考资源网
所以 .
另解： 的可能取值为0、1、2、3.高..考.资., 则 ， .
的分布列为
所以 = .
6. 解：（1）从被检测的 辆甲类品牌车中任取 辆，共有 种不同的 排放量结果：
( )；( )；( )；( )；( )；
( )；( )；( )；( )；( ).
设“至少有一辆不符合 排放量”为事件 ，则事件 包含以下 种不同的结果：
( )；( )；( )；( )；( )；( )；( ).
所以， . 答：至少有一辆不符合 排放量的概率为
（2）由题可知， ， .
， ，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好.
7．解（1） 的所有可能取值有6，2，1，-2； ，
，
故 的分布列为：
621-2
0.630.250.10.02
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为 ，则此时1件产品的平均利润为
依题意， ，即 ，解得 所以三等品率最多为 .
8．（1）解法1：∵ 是 的中点， ，∴ ．
∵ 平面 ，所以 ．
又 ， ，∴ ， ．
又 ，∴ 平面 ．
∵ 平面 ，∴ ．
解法2：如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，设 ，
可得， ．
因为 ，所以 ．
（2）因为 ．
所以 ，又 ，所以 平面 ，
因此 的余角即是 与平面 所成的角．
因为 ．
所以 与平面 所成的角的正弦值为 ．
9. 解： （1）由正视图、俯视图知 ；
由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则 ，
平面 ， ；
由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，
则 ， 平面 ， ．如图．
（1）三棱锥 的体积 ．
解法一：
以O为原点，OA为 轴，过O且平行于BD的直线为 轴，OS为 轴，建立如图空间直角坐标系，可求 ， ，
设 是平面SAB的一个法向量，则
，取 ，
（2）可知 ，设点C到平面SAB的距离为 ，
则 ．
（3）可知 是平面ABC一个法向量，故 ，
二面角 的余弦值为 ．
解法二：
（2）可求 ， ，
，
△SAB的面积 ，
设点C到平面SAB的距离为 ，
由三棱锥 的体积 ，
得 ．
（3）作 于H，作 交AB于E，则 ，
连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而 ，故 ，
为二面角 的平面角．
△ABC中，易求 ，
由△ABC的面积， ， ，
△AEO与△AHC相似，相似比为AO：AC=3：4，故 ，
中， ，
故 ，二面角 的余弦值为 ．
10.（1）证明： 平面 平面 , ,
平面 平面 = ，
平面 ，
平面 ， ，
为圆 的直径， ， 平面 ．
（2）设 的中点为 ，则 ，又 ，
则 ， 为平行四边形，
，又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（3）过点 作 于 ， 平面 平面 ，
平面 ， ，
平面 ，
，
．
11.解：（1）因为 、 、 成等差数列，
所以 ，即 .
因为 ， ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .所以 .
所以数列 的通项公式为 .
（2）因为 ，所以 .
所以
当 时，
；
当 时，
.
综上所述，
12. 解:(1)由题意，当 时， 当 时，设
由已知得 解得 . .
(2)依题意得
当 时， 为增函数，故 .
当 时， 时， 取最大值 .
答：车流密度 为100时，车流量 达到最大值3333.
13.解：（1）设植树 年后可将荒山全部绿化，记第 年初植树量为 ，
依题意知数列 是首项 ，公差 的等差数列，
则 , 即
∵ ∴
∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化．
（2）2002年初木材量为 ，到2009年底木材量增加为 ,
2003年初木材量为 ，到2009年底木材量增加为 ,……
2009年初木材量为 ，到2009年底木材量增加为 .
则到2009年底木材总量
----------①
---------②
②-①得
∴ ｍ2
答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2
14. 解：（1）∵抛物线 的焦点为 ，
∴双曲线 的焦点为 、 ，
设 在抛物线 上，且 ，
由抛物线的定义得， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，又∵点 在双曲线 上，由双曲线定义得，
，∴ ， ∴双曲线 的方程为： ．
（2） 为定值．下面给出说明．
设圆 的方程为： ， ∵圆 与直线 相切，
∴圆 的半径为 ，故圆 ： .
显然当直线 的斜率不存在时不符合题意，
设 的方程为 ，即 ，
设 的方程为 ，即 ，
∴点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，
∴直线 被圆 截得的弦长 ，
直线 被圆 截得的弦长 ，
∴ ， 故 为定值 ．
15. 解：（1）设A、B、M的坐标分别为(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，则
x20＋y20＝(m＋1)2， ①
由→AM＝m→MB，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，
∴x－x0＝－mx，y＝m(y0－y)．∴x0＝(m＋1)x，y0＝m＋1my． ②
将②代入①，得
(m＋1)2x2＋(m＋1m)2y2＝(m＋1)2，
化简即得点M的轨迹Γ的方程为x2＋y2m2＝1（m＞0）．
当0＜m＜1时，轨迹Γ是焦点在x轴上的椭圆；
当m＝1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆；
当m＞1时，轨迹Γ是焦点在y轴上的椭圆．
（2）依题意，设直线CD的方程为x＝ty＋12，
由x＝ty＋12，x2＋y2m2＝1．消去x并化简整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－34m2＝0，
△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
y1＋y2＝－m2tm2t2＋1，y1y2＝－3m24(m2t2＋1)． ③
假设在x轴上存在定点P(a，0)，使PQ平分∠CPD，
则直线PC、PD的倾斜角互补，
∴kPC＋kPD＝0，即y1x1－a＋y2x2－a＝0，
∵x1＝ty1＋12，x2＝ty2＋12，∴y1ty1＋12－a＋y2ty2＋12－a＝0，
化简，得4ty1y2＋(1－2a)( y1＋y2)＝0． ④
将③代入④，得－3m2tm2t2＋1－m2t(1－2a)m2t2＋1＝0，即－2m2t(2－a)＝0，
∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式对?t∈R都成立，∴a＝2．
故在x轴上存在定点P(2，0)，使PQ平分∠CPD．
16.解：（1）由题意， ，两式相减得 ，而 ，
（2） ，
(3)由（2）知 是数列 的最小项.
当 时，对于一切非零自然数 ，都有 ,
即 ，即 ，
解得 或 ， 取 .
17. 解：（1） ，则 则
（2） 由于 ，因此，
又
所以从第二项开始放缩：
因此
18.解:（1） ，
当 时， ，即 时， 最小值为2．
当 时， ，在 上单调递增，所以 ．
所以 时， 的值域为 ．
（2）依题意得
①若 ，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增．
②若 ，当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增．
当 时， ， 递增．
③若 ，当 时， ， 递减．
当 时，解 得 ，
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减．
④ ，对任意 ， ， 在 上递减．
综上所述，当 时， 在 或 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减．
19. 解：（1） 则有 .
（2）由（1）得
令 ,
①当 时， .若 ， 是减函数，∴ ，即 故 在 不恒成立.
②当 时， .若 ， 是增函数，∴ ，
即 故 时 .综上所述， 的取值范围是 .
（3）由（2）知，当 时，有 .令 ，则 即当 时，总有 令 ，则 .将上述 个不等式累加得 整理得
20.解:(1)因为点 的坐标为 , 的坐标为 ,
所以点 的坐标为 ,则 故 的关系为
(2)设切点为 ,则 得 ,所以
解不等式 得 .
.
的取值范围是
(3) 由 得 ,即 ,故
,
所以数列 是以2为公比,首项为 的等比数列, 即 解得 ,
数列 的通项公式为 .
21. 略解：（1）
.
，
而 ,
又 ,得 ,
又 ,得 ,由于 ,故 .
所以 .
所以 .
（2） ，故
，
下面证明： 成立.
法1： .
令 ，则 ，
可知 .即 .
法2： 即
由于 .
令 ，则 ，可知 .
故 成立.
22. 解： (1)设
∴
(2)∵c＝2 ∴b＝2 ∴ ，
由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an ≠ 1．
当n ≥ 2时，2 Sn -1＝an－1－ ……②，
①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，
∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1，
当n＝1时，2a1＝a1－a12 a1＝－1，
若an＝－an－1，则a2＝1与an ≠ 1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．
∴要证不等式，只要证 ，即证 ，
只要证 ，即证 ．
考虑证不等式 (x＞0) . (**)
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．
∴ ＝ ， ＝ ，
∵x＞0， ∴ ＞0， ＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函数，
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时， ．
令 则(**)式成立，∴ ＜ ＜ ，
(3)由(2)知bn＝ ，则Tn＝ ．
在 中，令n＝1，2，3， ，2008，并将各式相加，
得 ，
即T2009－1＜ln2009＜T2008．
23.解:（1）令 ，得 ，
……①，
令 得 ．
……②
由①、②，得 ．
为单调函数， ．
（2）由（1）得
.
24.解:（1） ，则 ，
得 ，即 ，
∴数列 是首项为2、公差为1的等差数列，∴ ，即 .
（2） ，∴函数 在点 N*）处的切线方程为：
，令 ，得 ．
，仅当 时取得最小值，
只需 ，解得 ，故 的取值范围为 ．
（3） ，故 ，
，故 ，则 ，即 ．
∴
= ．
又 ，
故 ．
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