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2013年高三理科数学查缺补漏试题(含答案海淀区)

编辑: 路逍遥 关键词: 高三 来源: 记忆方法网
2013年高三数学查漏补缺题
理科 2013年5月
1.函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为
A. B. C. D.
2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
3.若向量 满足 ,且 ,则向量 的夹角为
A.30° B.45° C.60°D.90°
4.已知函数 ,则 , , 的大小关系为A.         B.
C.          D.
5.某空间几何体三视图如右图所示,则该几何体的表面积为_____,
体积为_____________.
6.设 、 是不同的直线, 、 、 是不同的平面,有以下四个命题:
① 若 则 ②若 , ,则
③ 若 ,则 ④若 ,则
其中所有真命题的序号是_____
7.设不等式组 表示的平面区域为D,若直线 上存在区域D上的点,则 的取值范围是_____.
8.已知不等式组 所表示的平面区域为 ,则 的面积是_____;
设点 ,当 最小时,点 坐标为_____.
9. 的展开式中的常数项为
10. 计算 .
11.若直线 的参数方程为 其中 为参数,则直线 的斜率为_______.
12.如图,已知 是圆 的切线,切点为 , 交圆 于 两点,
,则
13.如图所示,正方体 的棱长为1, 分别是棱 , 的中点,过直线 的平面分别与棱 、 交于 ,
设 , ,给出以下四个命题:
①平面 平面 ;
②四边形 周长 , 是单调函数;
③四边形MENF面积 , 是单调函数;
④四棱锥 的体积 为常函数;
以上命题中正确命题的个数( )
A.1 B.2 C.3 D.4
14.直线 与抛物线 相切于点 . 若 的横坐标为整数,那么 的最小值为 .
15.已知数列 的前 项和 若 是 中的最大值,则实数 的取值范围是_____.
解答题部分:
1. 已知函数
(I)求 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)在 中,角 所对的边分别是 ,若 且 ,试判断 的形状.
2. 如图,在直角坐标系 中,点 是单位圆上的动点,过点 作 轴的垂线与射线 交于点 ,与 轴交于点 .记 ,且 .
(Ⅰ)若 ,求 ;
(Ⅱ)求 面积的最大值.
3. 已知函数 ,且
(Ⅰ)求 的值.
(Ⅱ)求函数 在区间 上的最大和最小值.
4.数列 的各项都是正数,前 项和为 ,且对任意 ,都有 .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求数列 的通项公式.
5. 已知正三角形 与平行四边形 所在的平面互相垂直.
又 ,且 ,点 分别为 的中点.
 (I) 求证:
 (Ⅱ) 求二面角 值.
6. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.
(Ⅰ)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率;
(Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记 为摸出两球中白球的个数,求 的期望和方差.
7. 已知函数 在 处有极值.
(Ⅰ)求函数 的单调区间;
(Ⅱ)若直线 与函数 有交点,求实数 的取值范围.
8. 已知函数 ,其中 .
(Ⅰ)求 的单调递减区间;
(Ⅱ)若存在 , ,使得 ,求 的取值范围.
9. 设函数 ,其图象在点 处的切线的斜率分别为 .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若函数 的递增区间为 ,求 的取值范围.
10. 已知椭圆 的离心率为 ,且经过点 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设 为椭圆 上的两个动点,线段 的垂直平分线交 轴于点 ,求 的取值范围.
11.如图,已知 , 两点分别在 轴和 轴上运动,并且满足 , .
(Ⅰ)求动点 的轨迹方程;
(Ⅱ)若正方形 的三个顶点 在点 的轨迹上,
求正方形 面积的最小值.
12. 动圆过点 且在 轴上截得的线段长为 ,记动圆圆心轨迹为曲线 .
(Ⅰ)求曲线 的方程;
(Ⅱ)已知 是曲线 上的两点,且 ,过 两点分别作曲线 的切线,设两条切线交于点 ,求△ 面积的最大值.
13.已知椭圆 的左右两个顶点分别为 ,点 是直线 上任意一点,直线 , 分别与椭圆交于不同于 两点的点 ,点 .
(Ⅰ)求椭圆的离心率和右焦点 的坐标;
(Ⅱ)(i)证明 三点共线;
(Ⅱ)求 面积的最大值。
2013年最后阶段高三数学复习参考资料答案
理科 2013年5月
题号12345
答案BCCA ,
题号678910
答案①③
15
题号1112131415
答案-2
B1
解答题部分:
1. 解:?Ⅰ?
所以
?Ⅱ?由 ,有 ,
所以
因为 ,所以 ,即 .
由余弦定理 及 ,所以 .
所以 所以 .
所以 为等边三角形.
2. 解:依题意 ,所以 .
因为 ,且 ,所以 .
所以 .
(Ⅱ)由三角函数定义,得 ,从而
所以
因为 ,所以当 时,等号成立
所以 面积的最大值为 .
3.解:(I)
(II)因为
设 因为 所以
所以有
由二次函数的性质知道, 的对称轴为
所以当 ,即 , 时,函数取得最小值
当 ,即 , 时,函数取得最大小值
4. 证明:(I)当 时,
因为 ,所以
当 时, ①

①-②得,
因为 所以 ,
即 因为 适合上式
所以
(Ⅱ)由(I)知 ③
当 时, ④
③-④得 -
因为 ,所以
所以数列 是等差数列,首项为1,公差为1,可得
5.(I)因为在正三角形 中, 为 中点,
所以
又平面 平面 ,且平面 平面 ,
所以 平面 ,所以
在 中,
所以 ,所以 ,
即 ,又
所以 平面 ,所以
(Ⅱ)以 为坐标原点, 所在直线为坐标轴建立坐标系,
则 ,
由(I)得平面 的法向量为
设平面 的法向量为
因为
所以 解得 ,取
所以 ,
所以二面角 的值为 .
6. 解:(Ⅰ)记 “摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件A,
摸出一球得白球的概率为 ,
摸出一球得黑球的概率为 ,
所以P(A)= × + × =
答:两球颜色不同的概率是
(Ⅱ)由题知 可取0,1,2, 依题意得
则 ,
答: 摸出白球个数 的期望和方差分别是 , .
7. 解:(Ⅰ)因为 ,
所以
由 ,可得
经检验 时,函数 在 处取得极值,

而函数 的定义域为 ,
当 变化时, , 的变化情况如下表:
极小值
由表可知, 的单调减区间为 , 的单调增区间为
(Ⅱ)若 ,则有 ,其中 ,
所以 有大于 的根,
显然 ,设
则其对称轴为 ,根据二次函数的性质知道,
只要
解得 或 .
8. (Ⅰ)解:
① 当 时,令 ,解得
的单调递减区间为 ;单调递增区间为 ,
当 时,令 ,解得 ,或
② 当 时, 的单调递减区间为 ,
单调递增区间为 ,
③ 当 时, 为常值函数,不存在单调区间
④ 当 时, 的单调递减区间为 ,
单调递增区间为 ,
(Ⅱ)解:① 当 时,若 ,
若 , ,不合题意
② 当 时,显然不合题意
③ 当 时,取 ,则
取 ,则 ,符合题意
④ 当 时,取 ,则
取 ,则 ,符合题意
综上, 的取值范围是 .
9.解:(Ⅰ)证明: ,由题意及导数的几何意义得
,  (1)
, (2)
又 ,可得 ,即 ,故
由(1)得 ,代入 ,再由 ,得
, (3)
将 代入(2)得 ,即方程 有实根.
故其判别式 得 ,或 , (4)
由(3),(4)得 ;
(Ⅱ)由 的判别式 ,
知方程 有两个不等实根,设为 ,
又由 知, 为方程( )的一个实根,则由根与系数的关系得

当 或 时, ,当 时, ,
故函数 的递增区间为 ,由题设知 ,
因此 ,由(Ⅰ)知 得
的取值范围为 .
10.解: (Ⅰ)椭圆 的方程为:
(Ⅱ)设 ,则 , .
依题意有 ,即 ,
整理得 .
将 , 代入上式,消去 ,
得 .
依题意有 ,所以 .
注意到 , ,且 两点不重合,从而 .
所以 .
11. 解:(I)
由已知 则
(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中 在 轴的下方(包括 轴),
记 的坐标分别为 ,其中
并设直线 的斜率为
则有 ……①
又因为 在抛物线 上,故有
代入①式得
……②
因为

所以
所以 将②代入可得:
即 ,

正方形的边长为
易知 , 所以
所以正方形ABCD面积的最小值为 .
12.解:(Ⅰ)设圆心坐标为 ,那么 ,化简得
(Ⅱ)解法一:设
设直线PQ的方程为 ,代入曲线C的方程得 ,
所以
因为 ,所以
所以,
过P、Q两点曲线C的切线方程分别为
两式相减,得
, ,
代入过P点曲线C的切线方程得,

即两条切线的交点M的坐标为( ),所以点M到直线PQ的距离为
当 时, ,此时 的面积的取最大值
解法二: 设 ,则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为
两式相减得 ,
, ,
代入过P点曲线C的切线方程得,

即两条切线的交点M的坐标为( , )
设PQ中点为C,则C的坐标为( , ),所以MC平行于y轴,所以
设点M到直线PQ的距离为d,那么 (当且仅当 时等号成立) .
又因为 ,所以 ,
即 , .
所以 (当且仅当 时等号成立) .
因此 , ,
所以 的面积的最大值为 .
13.解:(Ⅰ) , ,所以, 。
所以,椭圆的离心率 。
右焦点 。
(Ⅱ)(i) , 。设 ,显然 。
则 , 。
由 解得
由 解得
当 时, , 三点共线。
当 时, ,

所以, ,所以, 三点共线。
综上, 三点共线。
(Ⅱ)因为 三点共线,所以,△PQB的面积
设 ,则
因为 ,且 ,所以, ,且仅当 时, ,
所以, 在 上单调递减。
所以, ,等号当且仅当 ,即 时取得。


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