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2013年高三数学二模理科试卷B版(海淀区附答案)

编辑: 路逍遥 关键词: 高三 来源: 记忆方法网
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 (理科) 2013.5
本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上
作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.集合 , ,则
A. B. C. D.
2.已知数列 是公比为 的等比数列,且 , ,则 的值为
A. B. C. 或 D. 或
3. 如图,在边长为 的正方形内有不规则图形 . 向正方形内随机撒豆子,若
撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 ,则图形 面积的估计值为
A. B. C. D.
4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
A. B.
C. D.
5.在四边形 中,“ ,使得 ”是“四边形 为平行四边形”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位,2,4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为
A. B. C. D.
7.双曲线 的左右焦点分别为 ,且 恰为抛物线 的焦点,设双曲线 与该抛物线的一个交点为 ,若 是以 为底边的等腰三角形,则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
8. 若数列 满足:存在正整数 ,对于任意正整数 都有 成立,则称数列 为周期数列,周期为 . 已知数列 满足 ,
则下列结论中错误的是
A. 若 ,则 可以取3个不同的值
B. 若 ,则数列 是周期为 的数列
C. 且 ,存在 , 是周期为 的数列
D. 且 ,数列 是周期数列
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 在极坐标系中,极点到直线 的距离为_______.
10.已知 ,则 按照从大到小排列为______.
11.直线 过点 且倾斜角为 ,直线 过点 且与直线 垂直,则直线 与直线 的交点坐标为____.
12.在 中, ,则
13.正方体 的棱长为 ,若动点 在线段 上运动,则 的取值范围是______________.
14.在平面直角坐标系中,动点 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 的距离,记点 的轨迹为曲线 .
(I) 给出下列三个结论:
①曲线 关于原点对称;
②曲线 关于直线 对称;
③曲线 与 轴非负半轴, 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ;
其中,所有正确结论的序号是_____;
(Ⅱ)曲线 上的点到原点距离的最小值为______.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的定义域;
(Ⅱ) 求函数 的单调递增区间.
16.(本小题满分13分)
福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:(1)该福利彩票中奖率为50%;(2)每张中奖彩票的中奖奖金有5元,50元和150元三种;(3)顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为 ,获得50元奖金的概率为 .
(I) 假设某顾客一次性花10元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率;
(II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求 的取值范围.
17. (本小题满分14分)
如图1,在直角梯形 中, , , ,
. 把 沿对角线 折起到 的位置,如图2所示,使得点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上,连接 ,点 分别为线段 的中点.
(I) 求证:平面 平面 ;
(II) 求直线 与平面 所成角的正弦值;
(III)在棱 上是否存在一点 ,使得 到点 四点的距离相等?请说明理由.
18. (本小题满分13分)
已知函数 ,点 为一定点,直线 分别与函数 的图象和 轴交于点 , ,记 的面积为 .
(I)当 时,求函数 的单调区间;
(II)当 时, 若 ,使得 , 求实数 的取值范围.
19. (本小题满分14分)
已知椭圆 的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为 的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆 的方程;
(II)直线 与椭圆 交于 , 两点,且线段 的垂直平分线经过点 ,求
( 为原点)面积的最大值.
20. (本小题满分13分)
123
101
设 是由 个实数组成的 行 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可); 表1
(Ⅱ) 数表 如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数 的所有可能值;
(Ⅲ)对由 个实数组成的 行 列的任意一个数表 ,
能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2
和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 (理科)
参考答案及评分标准 2013.5
一、(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号12345678
答案BDCBCABD
9. 2 10.
11.
12.
13.
14.②③;
二、题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,
共30分)
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
解:(I)因为
所以 ……………………2分
所以函数的定义域为 ……………………4分
(II)因为 ……………………6分
……………………8分
又 的单调递增区间为 ,

解得 ……………………11分
又注意到
所以 的单调递增区间为 , …………………13分
16. 解:(I)设至少一张中奖为事件
则 …………………4分
(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为
则 可以取 …………………6分
的分布列为
…………………8分
所以 的期望为
…………………11分
所以当 时,即 …………………12分
所以当 时,福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解:(I)因为点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上
所以 平面 ,所以 …………………1分
因为在直角梯形 中, , ,

所以 , ,所以 是等边三角形,
所以 是 中点, …………………2分
所以 …………………3分
同理可证

所以平面 平面 …………………5分
(II)在平面 内过 作 的垂线
如图建立空间直角坐标系,
则 , , …………………6分
因为 ,
设平面 的法向量为
因为 ,
所以有 ,即 ,
令 则 所以 …………………8分
…………………10分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 …………………11分
(III)存在,事实上记点 为 即可 …………………12分
因为在直角三角形 中, , …………………13分
在直角三角形 中,点
所以点 到四个点 的距离相等 …………………14分
18.解: (I) 因为 ,其中 …………………2分
当 , ,其中
当 时, , ,
所以 ,所以 在 上递增, …………………4分
当 时, , ,
令 , 解得 ,所以 在 上递增
令 , 解得 ,所以 在 上递减 ……………7分
综上, 的单调递增区间为 ,
的单调递增区间为
(II)因为 ,其中
当 , 时,
因为 ,使得 ,所以 在 上的最大值一定大于等于
,令 ,得 …………………8分
当 时,即 时
对 成立, 单调递增
所以当 时, 取得最大值
令 ,解得 ,
所以 …………………10分
当 时,即 时
对 成立, 单调递增
对 成立, 单调递减
所以当 时, 取得最大值
令 ,解得
所以 …………………12分
综上所述, …………………13分
19.解:(I)因为椭圆 的四个顶点恰好是一边长为2,
一内角为 的菱形的四个顶点,
所以 ,椭圆 的方程为 …………………4分
(II)设 因为 的垂直平分线通过点 , 显然直线 有斜率,
当直线 的斜率为 时,则 的垂直平分线为 轴,则
所以
因为 ,
所以 ,当且仅当 时, 取得最大值为 ………………7分
当直线 的斜率不为 时,则设 的方程为
所以 ,代入得到
当 , 即
方程有两个不同的解
又 , …………………8分
所以 ,
又 ,化简得到
代入 ,得到 …………………10分
又原点到直线的距离为
所以
化简得到 …………………12分
因为 ,所以当 时,即 时, 取得最大值
综上, 面积的最大值为 …………………14分
20.(I)解:法1:
法2: …………………3分
(II) 每一列所有数之和分别为2,0, ,0,每一行所有数之和分别为 ,1;
①如果首先操作第三列,则
则第一行之和为 ,第二行之和为 ,
这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,
所以 或
当 时,则接下来只能操作第一行,
此时每列之和分别为
必有 ,解得
当 时,则接下来操作第二行
此时第4列和为负,不符合题意. …………………6分
② 如果首先操作第一行
则每一列之和分别为 , , ,
当 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉
当 时, , 至少有一个为负数,
所以此时必须有 ,即 ,所以 或
经检验, 或 符合要求
综上: …………………9分
(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下:
记数表中第 行第 列的实数为 ( ),各行的数字之和分别为 ,各列的数字之和分别为 , , ,数表中 个实数之和为 ,则 。记



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