诸暨中学高三数学期中试卷（文科）说明：1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分150分，考试时间120分钟. 2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共50分）1．若集合则集合( )A．（-2，+∞）B．（-2，3）C． D．R 2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 ( )A. B. C. D.3. 下列函数中周期为且为偶函数的是( )A． B. C. D．4. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，，则C．，，则 D．若，，则A． B．16 C． D．6．的图象向左平移个单位（），是所得函数的图象的一个对称中心，则的最小值为( ).A． B． C． D．的图象如图所示，则导函数的图象的大致形状是( ).8.设函数，其中a，b都是正数，对于任意实数x，等式恒成立，则当时，的大小关系为（ ）.A. B. C. D. 9.在矩形ABCD中，, P为矩形内一点，且,若,?的最大值为 ( )A. B. C. D. 10. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知,是一对相关曲线的焦点,是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是A． B． C． D．非选择题部分（共100分）11.，则=______________12.甲盒子里装有分别标有数字的张卡片，乙盒子里装有分别标有数字的张卡片，若从两个盒子中各随机地取出张卡片，则张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．13．已知圆x2+y2－2x－6y=0，过点E（0，1）作一条直线与圆交于A，B两点，当线段AB长最短时，直线AB的方程为 14.若执行如图所示的框图，输入，x2 = 2, x3 = 4, x4 = 8,则输出的数等于 .15．设满足约束条件，若的，则k的值为 16.已知直线L经过定点A(4,1),在x轴，y轴上的截距分别为a,b,且a,b都大于零，则a+b的最小值为_________________.17.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为______________.三、解答题：本大题共5个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明或演算过程。18. （本题满分14分）在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．19.（本小题满分1分）记数列的前项和，且为常数，，且成公比不等于的等比数列． （）求数列的值； （）设，求数列的前项和．中，侧面，已知，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下,求AE和平面ABC所成角正弦值的大小.21.（本题满分15分）已知函数．(Ⅰ) 求的单调区间；(Ⅱ) 求所有的实数，使得不等式对恒成立．22．（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．参考答案：一、选择题：CDABD;BDCCC二、填空题：11. ; 12. 13.x+2y-2=0 14. 15.1 16.9 17.三、解答题： 18.解：（I）由正弦定理得因为所以------5分（II）由（I）知于是------6分取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时------14分19.解(1)由得：当………3故…………………………4而成公比不等于的等比数列，即且，所以………6（Ⅱ）由（Ⅰ）知，. ………………………………………………7分 ∴ …………10分 ∴ ………………………………12分20.解：（Ⅰ）∵CC1=2 ∴BC1= ∴∵侧面 ∴ 且BCAB=B得证： ------4分（Ⅱ）连接BE 假设 E为C1C的中点 BC=CE=1 等边中同理：B1C1=C1E=1 ∴可得 可证 ∵侧面 ∴ 且EBAB=B 得证： 得证；------8分（Ⅲ）侧面 得过E做BC1的垂线交BC1于F EF⊥平面ABC1连接AF 则 ∵BC⊥BC1 EF⊥BC1 ∴BC∥EF E为C1C的中点 得 F为C1B的中点 由（2）知 ∴------14分21.解：(Ⅰ) f ′(x)＝3x2－3a．当a≤0时，f ′(x)≥0恒成立，故f (x)的增区间是(－∞，＋∞)．当a＞0时，由f ′(x)＞0，得x＜－ 或 x＞，故f (x)的增区间是(－∞，－]和[，＋∞)，f (x)的减区间是[－，]． ………… 7分(Ⅱ) 当a≤0时，由(Ⅰ)知f (x)在[0，]上递增，且f (0)＝1，此时无解．当0＜a＜3时，由(Ⅰ)知f (x)在[0，]上递减，在[，]上递增，所以f (x)在[0，]上的最小值为f ()＝1－2a．所以即所以a＝1．当a≥3时，由(Ⅰ)知f (x)在[0，]上递减，又f (0)＝1，所以f ()＝3－3a＋1≥－1，解得a≤1＋，此时无解．综上，所求的实数a＝1．22．解解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得．由韦达定理得，．于是．，当，．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为．，，，．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得．从而，当时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则．设直线与以为直径的圆的交点为，则有．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．！第10页 共10页学优高考网！！xyOy=f(x)xyOD．A．xyOB．xyOC．xyONOACByxNOACByxNOACByxl浙江省诸暨中学2015届高三上学期期中数学文试卷
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