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2015届高三年级第五次月考
数 学 试 卷（文）
　　　　　　
第Ⅰ卷
一、：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A={0，1}，B={-1，0，a+3},且A B，则a=（ ）
A．1 B．0 C．-2 D．-3
2. 设复数Z满足（ ，则Z=（ ）
A． B． C．1 D．2
3．设 为两个不同平面，m、 n为两条不同的直线，且 有两个命题：
P：若m∥n,则 ∥β；q：若m⊥β, 则α⊥β. 那么（ ）
A．“p或q”是假命题 B．“p且q”是真命题
C．“非p或q”是假命题 D．“非p且q”是真命题
4. 在平面直角坐标系中，已知向量 若 ，则x=( )
A．-2 B．-4 C．-3 D．-1
5．在等差数列{an}中，a9= a12+6,则数列{an}的前11项和S11=（ ）
A．24 B．48 C．66 D．132
6．在?ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2+b2= ab+c2,则角C为（ ）
A．30°B．45° C．150° D．135°
7．若将函数y＝tanωx＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tanωx＋π6的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．13 D．12
8．设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x>0),则不等式f(x-2)>0的解集为（ ）
A．{xx<-2或x>4} B．{xx<0或x>4} C．{xx<0或x>6} D．{xx<-2或x>2}
9．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图
均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如
图，则该几何体的全面积为（ ）
A．2+3 B．2+2
C．8+5 D．6+3
10. 若关于直线m,n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α,n∥β,且α∥β，则m∥n;
②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β，则m⊥n;
③若m⊥α,n∥β,且α∥β，则m⊥n;
④若m∥α,n⊥β,且α⊥β，则m∥n;
其中真命题的序号（ ）
A．①② B．③④ C．②③D．①④
11．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA= ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．5 B． C．20 D．4
12．设方程lnx=-x与方程ex=-x(其中e是自然对数的底数)的所有根之和为m,则（ ）
A．m<0 B. m=0 C.0<m<1 D.m>1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、题：本大题共4小题，每小题5分．
13．与直线x+ y-1=0垂直的直线的倾斜角为________
14．已知关于x, y的二元一次不等式组 ，则3x-y的最大值为__________
15．如图，在三角形ABC中，AD⊥AB，
________.
16．数列{an}的通项为an=(-1)n 前n项和为Sn, 则S100=_________.
三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
等比数列 的各项均为正数，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前n项和.
18.（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x
(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期；
(2)设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝6，cosB＝13，
f(C2)＝－14，求b.
19．(本小题满分12分)
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,点D是AB的中点
(1)求证：BC1∥平面CA1D
(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B
(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=
求三棱锥B1-A1DC的体积
20. （本小题12分）
“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：
且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.
(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
21.(本小题满分12分)
已知函数 , ( ).
(1)求函数 的单调区间;
(2)求证:当 时,对于任意 ,总有 成立
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，直线 经过⊙ 上的点 ，并且 ⊙ 交直线 于 ， ，连接 ．
（1）求证：直线 是⊙ 的切线；
（2）若 ⊙ 的半径为3，求 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
已知直线 的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为
（ 为参数）。
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为 ，判断点P与直线 的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线 的距离的最小值与最大值。
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．

2015届高三第四次月考数学（文）参考答案
1—5.CCDDD， 6—10.BDBAC 11.A 12.B
13． , 14. 5 15. , 16. 150
17.解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由 得 所以 。
由条件可知a>0,故 。
由 得 ，所以 。
故数列{an}的通项式为an= 。
（Ⅱ ）

故

所以数列 的前n项和为
18【解析】(1)∵f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12cos2x－32sin2x＋12－12cos2x＝－32sin2x＋12，∴最小正周期T＝2π2＝π，令2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2(k∈Z)，
得kπ－π4≤x≤kπ＋π4，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间是[kπ－π4，kπ＋π4](k∈Z).
(2)由(1)f(x)＝－32sin2x＋12得：f(C2)＝－32sinC＋12＝－14，∴sinC＝32，又cosB＝13，∴sinB＝1－(13)2＝223，∴bsinB＝csinC，即b＝c•sinBsinC＝6×22332＝
19.证明（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE
因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点
又D是AB的中点，DE∥BC1，
又DE 面CA1D，BC1 面CA1D，BC1∥面CA1
证明（2）AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD，
又AA1⊥面ABC，CD 面ABC，AA1⊥CD，
AA1∩AB=A， CD⊥面AA1B1B， CD 面CA1D，
平面CA1D⊥平面AA1B1B
解： ,则（2）知CD⊥面ABB1B， 所以高就是CD= ，BD=1，BB1= ，所以A1D=B1D=A1B1=2, ,
20.(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则
S＝200x－(12x2－200x＋80 000)＝－12x2＋400x－80 000＝－12(x－400)2，
所以当x∈[200,300]时，S<0.因此，该项目不会获利.当x＝300时，S取得最大值－5 000，
所以政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损.
(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：
①当x∈[120,144)时，yx＝13x2－80x＋5 040＝13(x－120)2＋240，∴当x＝120时，
yx取得最小值240；
②当x∈[144,500)时，yx＝12x＋80 000x－200≥212x•80 000x－200＝200.
当且仅当12x＝80 000x，即x＝400时，yx取得最小值200.∵200<240，
∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低

21. 解:(Ⅰ)函数 的定义域为 , .
当 时,
当 变化时, , 的变化情况如下表:
???
当 时,
当 变化时, , 的变化情况如下表:

综上所述,
当 时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 , ;
当 时, 的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 时,
在 上单调递增, ; 在 上单调递减,且 .
所以 时, .
因为 ,所以 ,令 ,得 .
①当 时,由 ,得 ;由 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
所以 .
因为 ,
所以对于任意 ,总有 .
②当 时, 在 上恒成立,
所以函数 在 上单调递增, .
所以对于任意 ,仍有 .
综上所述,对于任意 ,总有
22证明：（Ⅰ）如图，连接OC, OA =OB,CA=CB,
是圆的半径， 是圆的切线． （3分）
（Ⅱ） 是直径，
又
2 （5分）

∽ （7分）
设 ，则 ， …．（9分）
（10）分
23．选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）将点 化为直角坐标，得 ，…………………………（2分）
直线 的普通方程为 ，显然点 不满足直线 的方程，
所以点 不在直线 上．………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）因为点 在曲线 上，故可设点 ，…………………（6分）
点 到直线 ： 的距离为
，…………………（8分）
所以当 时， ，
当 时， ．
故点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ．………………（10分）
24．选修4－5：不等式选讲

5 Y


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