2013年高考数学(文)押题精粹（课标版）
（30道选择题+20道非选择题）
一．选择题（30道）
1.设集合 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
2. 已知 是实数集，集合 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
3.已知i为虚数单位，则复数 等于（ ）
A．-1-iB．-1+iC．1+iD．1—i
4.复数 在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. “ ”是“方程 表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条
6.若命题“ R，使得 ”为假命题，则实数m的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7.一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（ ）
A.0 B.
C. D.
8.下面的程序框图中，若输出 的值为 ，则图中应填上的条件为（ ）
A． 　B． C． D．
9.右图是函数 在区间
上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将
的图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标
缩短到原来的 倍，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
10.已知 则 的值（　　）
A．随着k的增大而增大
B．有时随着k的增大而增大,有时随着k的增大而减小
C．随着k的增大而减小
D．是一个与k无关的常数
11.关于函数 的四个结论:
P1:最大值为 ;
P2:最小正周期为 ;
P3:单调递增区间为 Z;
P4:图象的对称中心为 Z.其中正确的有（　　）
A．1 个B．2个C．3个D．4个
12. 是两个向量， ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
13.已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c?a=c?b=1,,则对任意正实数t, 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
14.一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为（ ）
A． B．
C． D．
15．正方形 的边长为 ,中心为 ,球 与正方形 所在平面相切于 点,过点 的球的直径的另一端点为 ,线段 与球 的球面的交点为 ,且 恰为线段 的中点,则球 的体积为（　　）
A． B． C． D．
16.不等式组 表示面积为1的直角三角形区域，则 的值为（ ）
Ａ. B. C. D.
17.设函数 ， . 若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 （ ）.
A. B. C. D.
18.如图，在边长为2的正方形内随机取一个点，则此点在正方形的内切圆内部的概率为（ ）
A． B． C． D．
19、将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为 和 ，则函数 在 上为增函数的概率是（ ）
A． 　　　 B.　 　　　　C.　 　　　　D.　
20、某单位为了解用电量 度与气温 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温（ ）
181310-1
用电量（度）24343864
由表中数据得线性回归方程 中 ，预测当气温为 时，用电量的度数约为（ ）
A.68 B.79 C.65 D.80
21、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100
名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．其中
成绩分组区间是[40，50），[50,60），[60,70），[70,80），
[80,90) ,[90,100]．则成绩在[80 ,100]上的人数为（ ）
A70 B 60 C 35 D 30
22、已知等差数列 的公差和首项都不等于0，且 成等比数列，则 （ ）
　　　A.　2　　 B.　3　 　C.　5　　 　D. 7
23、设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，且 ．若 ，则 的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
24. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点,过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点,若 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
25．圆 －2x＋my－2＝0关于抛物线 ＝4y的准线对称，则m的值为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
26．已知抛物线 的焦点到准线的距离为 , 且 上的两点 关于直线 对称, 并且 , 那么 =（　　）
A． B． C．2D．3
27．如果函数 图像上任意一点的坐标 都满足方程 ，那么正确的选项是（ ）
(A) 是区间（0， ）上的减函数，且
(B) 是区间（1， ）上的增函数，且
(C) 是区间（1， ）上的减函数，且
(D) 是区间（1， ）上的减函数，且
28．定义在R上的奇函数 ，当 ≥0时， 则关于 的函数 （0＜ ＜1）的所有零点之和为（ ）
（A）1- （B） （C） （D）
29．已知 在 处取最大值，以下各式正确的序号为（ ） ① ② ③ ④ ⑤
A． B． C． D．
30．已知函数 ，则对任意 ，若 ，下列不等式成立的是( )
（A） （B）
（C） （D）
二．填空题（8道）
31.已知A ,B(0,1)),坐标原点O在直线AB上的射影为点C,则 = .
32.若直线 是曲线 的切线，则实数 的值为 .
33.若实数 、 满足 ，且 的最小值为 ，则实数 的值为__
34.已知四 面体 的 外接球的球心 在 上,且 平面 , , 若四面体 的体积为 ,则该球的体积为_____________
35.在区间 内随机取两个数a、b， 则使得函数 有零点的概率
　为 。
36.公比为4的等比数列 中,若 是数列 的前 项积,则有 也成等比数列,且公比为 ；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列 中，若 是 的前 项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为_____________.
37．在 中,角 所对的边分别为 ,且 ,当 取最大值时,角 的值为_______________
38.已知抛物线 的准线为 ,过点 且斜率为 的直线与 相交于点 ,与 的一个交点为 ,若 ,则 等于____________
三．解答题（12道）
39、 中， ， ， 分别是角 的对边，向量 ， , ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值．
40、已知等差数列 的首项 ，公差 ．且 分别是等比数列 的 ．
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 对任意自然数 均有 … 成立，求 … 的值.
41、（本小题满分12分）
为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中 处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分.
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同
学试卷的概率．
42、十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意　单位：名
男女总计
满意503080
不满意102030
总计6050110
(1)从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？
(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；
(3)根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关
附：
P( )
0.0500.0250.0100.005
3.8415.0246.6357.879
43、如图在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形,侧面 底面 ，且 ,设 、 分别为 、 的中点．
(Ⅰ) 求证： //平面 ；
(Ⅱ) 求证：面 平面 ；
44、已知椭圆 的长轴长是短轴长的两倍，焦距为 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)设不过原点 的直线 与椭圆 交于两点 、 ，且直线 、 、 的斜率依次成等比数列，求△ 面积的取值范围.
45. 已知抛物线 的焦点坐标为 ，过 的直线交抛物线 于 两点，直线 分别与直线 ： 相交于 两点.
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.
46.已知函数f (x)＝x3＋ (1－a)x2－3ax＋1，a＞0．
(Ⅰ) 证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1；
(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a)，求g(a)的最大值．
47.已知函数
(I)讨论 的单调性;
(II)若 有两个极值点 和 ,记过点 的直线的斜率为 ,问:是否存在 ,使得 若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.
48.选修4-1:几何证明选讲.
如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C两点，且AB= AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,己知圆E的半径为2， =30.
(1)求AF的长.
(2)求证：AD=3ED.
49. 在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线 ,已知过点 的直线 的参数方程为： ，直线 与曲线 分别交于 两点.
（1）写出曲线 和直线 的普通方程；
（2）若 成等比数列,求 的值．
50. 选修4-5：不等式选讲
设
（1）当 ，求 的取值范围；
（2）若对任意x∈R， 恒成立，求实数 的最小值．
2013年高考数学(文)押题精粹（课标版）
【参考答案与解析】
一．选择题（30道）
1. 【答案】A
2. 【答案】D
【点评】集合问题是高考必考内容之一，题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述法、图示法三种，高考中与集合的运算相结合，不外乎几种题型。侧重考查简单的不等式的有关知识。
3. 【答案】A
4. 【答案】A
【点评】3、4题考查的是复数有关知识。复数主要内容有：复数的四则运算、复数的模、共轭复数、复平面、复数概念等，文科一般都只考简单的复数除法运算，且比较常规化。
5.【答案】C
6.【答案】A
【点评】上面5、6题是简易逻辑的内容，简易逻辑内容有：命题的或、且、非；四种命题；充分、必要条件；全称命题和特称命题。作为高考内容的重要组成部分，也是各省高考常见题型，特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。单独考查简易逻辑相关的概念不多见，按照近几年高考真题的特点来讲，结合其他知识点一同考查是总趋势，
如5题。一般和不等式相结合的也时有出现，如6题。
7.【答案】C
8.【答案】B
【点评】7,8题考查的内容是程序框图。程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，如题7；一种是根据题意补全程序框图，如题8.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟。
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】C
【点评】根据三角函数的图像确定三角函数的解析式是综合考察三角函数知识的掌握程度的重要手段，再结合三角函数图象的平移问题，使得这种题型常考常新，作为中档题是历年高考考察的重点，如9题；三角函数求值是历年高考的常考点，应用三角函数恒等变换化简式子并引入参数是一种创新题型，知识的综合程度较高，或许这种题型在未来几年的高考中会出现，如10题；结合三角函数的恒等变换，综合分析函数的性质，是对三角函数知识点的综合考察，要求知识的掌握程度为中等，历年高考对三角函数知识点的考察亦以中档容易为主，如11题。
12.【答案】C
13.【答案】B
【点评】向量的数量积是高考的必考点，多以容易和中档题目出现，常以求向量的模、夹角来考察该知识点，如12题；有时也以函数、解三角形或不等式结合综合考察求最值问题，如13题。
14.【答案】B
15.【答案】B
【点评】14题中，三视图是新课标新增内容，在历年高考中都成为各地高考试卷出题的必考内容，多以求体积或表面积为主，本知识着重考察空间想象力和计算求解能力；在立体几何知识的考察中近几年多以三视图或与球结合的综合问题，对球的考察以球的体积或表面积为问题设置点，利用空间线面关系确定相应一些数量求解，如15题。
16.【答案】D
17.【答案】A
【点评】不等式的考察中，有不等式的性质、线性规划、基本不等式、简易逻辑，常以函数、数列、向量相结合考察。16题中线性规划求参数问题也许在未来的高考题中会同样出现；17题中以函数相结合利用函数性质求参数的取值班范围，也是高考在不等式知识点出题的热点。
18．【答案】A
19．【答案】B
20.【答案】A
21.【答案】D
【点评】18、19、20、21题为概率、统计、模块内容，该模块包含的内容比较多，一般高考会有1小1大两道题，小题主要考查：频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、独立性检验、几何概型和古典概型、抽样（特别是分层抽样），所以应该引起足够的重视。
22.【答案】B
23.【答案】B
【点评】22、23题考查的数列知识。如果不考大题，会考两个小题，数列版块在新课标的背景下要求降低，小题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题。
24.【答案】C
25．【答案】B
26.【答案】A
【点评】解析几何模块主要考查：直线、圆及圆锥曲线的性质为主，一般结合定义，借助于图形可容易求解，其中双曲线几乎是客观题的必考内容,小题特别关注直线、圆、抛物线、双曲线以及它们之间综合。
27．【答案】C
28．【答案】A
29．【答案】B
【解析】 ， 在 处取最大值， ，即： ，
30．【答案】D
【解析】当 时， ，所以 。当 时， ，所以 ，即函数 为偶函数，且当 时，函数 单调递增，所以 ，即 ，所以 ，选D.
【点评】函数与导数模块，主要考查分段函数、初等函数的性质、函数的图象、函数的零点、以及导数应用等，多个知识点综合考查是热点.
三．填空题（8道）
31. 【答案】
【解析】由题意知 . .所以
【点评】向量的填空题数量积是高考命题的一个重要方向，一般不是太难，重视基本运算。
32.
【点评】文科填空题函数和导数主要考查函数的性质和导数的切线问题。
33.【答案】
【点评】线性规划多考常规题，不过现在常规题型高考都考过了，加点难度。
34.【答案】
点评：球的组合体是高考每年必考的知识点，题型不是选择就是填空。
35.【答案】
【点评】几何概型是高考常考的题型，文科线性规划和几何概型组合考查也要引起注意
36.【答案】300
【点评】推理与证明作为新课标的新增知识点，高考出现是必要的，此题考查了类比推理的应用。当然归纳推理也要掌握。
37.【答案】
【点评】解三角形是高考的重要组成部分，不在客观题考查，就在解答题中出现，尤其2010年和2014年高考都作为填空题考查。解三角形所涉及的知识点要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等。
38.【答案】 2
【点评】2014年高考解答题考了抛物线，2013年解答题要考椭圆，填空题考查双曲线或抛物线的定义性质
三．解答题（12道）
39. 【解析】
（1）
（2） ，
综上
【点评】高考三角类解答题无非就是两种，（1）三角函数题——考查三角函数的性质或图像；（2）是解三角形，有点省份也会考解三角形的应用题。常常与向量结合出题。
40.【答案】（Ⅰ）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比数列
∴
∴
又∵ .　
　∴
（Ⅱ）∵ … ①
∴ 　即 ，又 … ②
①－②： 　
∴
∴
【点评】新课标下对数列的考查要求降低，只对等差、等比数列通项和求和要求掌握。其中的一次些常规方法（错位相减，倒序相加等）特别注意。
41.【答案】（Ⅰ） 甲同学成绩的中位数是83，
,
乙同学的平均分是86分，
,
.
（Ⅱ）甲同学成绩在［90，100］之间的试卷有二份，分别记为 ， ，
乙同学成绩在［90，100］之间的试卷有三份，分别记为 ， ， ，
“从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，共有10种情况，
记“从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件 ，则事件 包含的基本事件为：
， ， ， ， ，共有6种情况
则 ，
从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概率为 .
42. 【答案】
【点评】概率题主要考察茎叶图、抽样方法、直方图、统计案例、线性回归方程、概率等基础知识，试题多考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识。这里将其两两结合处理。
43.【答案】
(Ⅰ)证明： 为平行四边形
连结 ， 为 中点，
为 中点∴在 中 // 　
且 平面 ， 平面
∴
(Ⅱ)证明：因为面 面 　平面 面 　
为正方形， ， 平面
　所以 平面
　∴
又 ，所以 是等腰直角三角形，
且 　　　即
　 ，且 、 面 　　
面 ．．．．．．．．．．．．７分
又 面 　　面 面 ．．．．．．．8分
【点评】空间几何体的解答题一般以柱体或锥体为背景，考查线面、面面关系。去年新课标卷考的是柱体，今年预测为锥体。
44、【答案】
(1)由已知得 ∴ 方程：
(2)由题意可设直线 的方程为：
联立 消去 并整理，得：
则△ ,
此时设 、 ∴
于是
又直线 、 、 的斜率依次成等比数列，
∴
由 得： .又由△ 得：
显然 （否则： ，则 中至少有一个为0，直线 、 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）
设原点 到直线 的距离为 ,则
故由 得取值范围可得△ 面积的取值范围为
【点评】圆锥曲线大题一般以椭圆和抛物线为主，求标准方程、离心率为主，并结合向量、直线和其它知识点考查学生的综合推理、运算能力。
45.【答案】
（Ⅰ）由焦点坐标为 可知
所以 ,
所以抛物线 的方程为 …4分
（Ⅱ）当直线垂直于 轴时， 与 相似，
所以 ,
当直线与 轴不垂直时，设直线AB方程为 ,
设 ， ， ， ，
解 整理得 ，
所以 ,
,
综上
【点评】高考对圆锥曲线这部分主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的综合应用能力，本小题涉及到直线与抛物线的相关知识以及圆锥曲线中面积求取知识的综合知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有较高要求，但难度适中，计算量不大，符合作为文科压轴题的特点.
46. 【答案】(Ⅰ) 由于 f ′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x＋1)(x－a)，且a＞0，
故f (x)在[0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．
又f (0)＝1， f (a)＝－ a3－ a2＋1＝ (1－a)(a＋2) 2－1．
当f (a)≥－1时，取p＝a．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f (x)≤1成立．
当f (a)＜－1时，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a)＋1＜0，
故存在p∈(0，a)使得f (p)＋1＝0．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f (x)≤1成立．
综上，对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0，＋∞)上的最小值为f (a)．
当0＜a≤1时，f (a)≥－1，则g(a)是方程f (p)＝1满足p＞a的实根，
即2p2+3(1－a)p－6a＝0满足p＞a的实根，所以g(a)＝ ．
又g(a)在(0，1]上单调递增，故g(a)max＝g(1)＝ ．
当a＞1时，f (a)＜－1．
由于f (0)＝1，f (1)＝ (1－a)－1＜－1，故[0，p]? [0，1]．
此时，g(a)≤1．
综上所述，g(a)的最大值为 ．
47.【答案】(I) 的定义域为
令 ,其判别式
(1)当 时 , 故 在 上单调递增
(2)当 时 , 的两根都小于 ,在 上, ,
故 在 上单调递增
(3)当 时 , 的两根为 ,
当 时, ;当 时, ;当 时, ,故 分别在 上单调递增,在 上单调递减
亦即
再由(I)知,函数 在 上单调递增,
而 ,所以 这与 式矛盾.
故不存在 ,使得
【点评】导数题似乎已经被默认高考解答题的最后一题（当然个别省份不是），一般以三次多项式函数、指数函数或对数函数为背景，考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用，考查点极为全面，上述两题就有这样的特点，同时作为文科题，考查的深度应该不如理科，运算量也不能太大。
48.【答案】(1) 延长 交圆 于点 ，连结 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
又 ，可知 .
所以根据切割线定理 ，即 .
(2) 过 作 于 ，则 与 相似，
从而有 ，因此 .
【点评】本小题主要考查平面几何的证明，图形背景新颖，具体涉及到切割线定理以及三角形相似等内容，重点考查考生对平面几何推理能力.
49.【答案】（Ⅰ） .
（Ⅱ）直线 的参数方程为 （ 为参数）,
代入 , 得到 ，
则有 .
因为 ，所以 ，解得 .
【点评】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，考查了极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容同时。
50.【答案】（1）f(x)＝x－a≤3，即a－3≤x≤a＋3．依题意，a－3≤－1，a＋3≥3．
由此得a的取值范围是[0，2]．
（2）f(x－a)＋f(x＋a)＝x－2a＋x≥(x－2a)－x＝2a．
当且仅当(x－2a)x≤0时取等号．
解不等式2a≥1－2a，得a≥ 1 4．
故a的最小值为 1 4．
【点评】纵观多年新课标高考题，绝大部分年份和省份的高考都以考查绝对值不等式的解法和性质为主，本小题不仅同时考查了绝对值不等式的解法和性质，并且题问作了相应的创新.


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