一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑.1.复数是纯虚数，其中是实数，则（ ） A. B. C. D. 3.集合，，，，则集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C6.等差数列的公差为，随机变量等可能地取，则的标准差为（ ） A. B. C. D. 9.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，若抛物线在点处的切线斜率为1，则线段（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设，，，，可得，又，直线的方程为，故.考点：导数的几何意义.10.设、为正实数，，，则（ ） A. B. C. D. 12.执行如图所示的程序框图，输出结果 .14.已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：由题设知，，则，因此，原不等式等价于，在上是增函数，，即，又，当时，取得最小值，因此，解得，又，，故.考点：分段函数，复合函数，不等式的解法.分离变量法.（二）选做题（请在夏明两题中任选一题作答，若两题都做，则按第15题计分）.15.（选修4-1，几何证明选讲）四边形是圆的内接四边形，点在上，已知，，，则圆的半径为 .【答案】【解析】试题分析：延长、交于，四边形是圆的内接四边形，点在上，，在中，，，可得，在中，，可得，在中，，，圆的半径为.考点：圆的性质，圆的内接四边形的性质.16.（选修4-4，坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆上任意一点到点的最大距离为 .三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数，若的最大值为1.（1）求的值，并求的单调区间；（2）在中，角、、所对的边是、、，若，且，试判断三角形的形状.【答案】（1），（2）直角三角形.【解析】试题分析：（1）利用两个角的和与差的正弦公式展开，代入特殊角的三角函数值，在利用两个角的正弦公18.（本小题满分12分）某次网球比赛分四个阶段，只有上一阶段的胜者，才能继续参加下一阶段的比赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积分10分，否则0分.甲乙两个网球选手参加了这次比赛，已知甲每个阶段取胜的概率为，乙每个阶段取胜的概率为. （1）求甲乙两人最后积分之和为20分的概率； （2）设甲的最后积分为，求的分布列和数学期望.【答案】（1），（2）.【解析】试题分析：（1）根据条件，设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，“甲得0分，乙得20分”为事件B，“甲得10分，乙得10分”为事件C,“甲得20分，乙得 0分”为事件D.利用独立事件的概率公式，求，，，又事件是互斥事件，再利用求；（2）随机变量的取值可为0,10,20,30,40.求出每个随机变量取值的概率，列成表格，有均值的定义求.试题解析：（1）设 “甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，“甲得0分，乙得20分”为事件B，“甲得10分，乙得10分”为事件C,“甲得20分，乙得 0分”为事件D.又，，，.（2）的取值可为0,10,20,30,40.，，，，，的分布列为：010203040数学期望.考点：独立事件的概率，随机变量的均值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，是的中点，，且，. 图1 （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的正切值.（2）（传统法）过作交的延长线于，连结，图2，平面，，为二面角的平面角，结合图1可知，，从而，二面角的平面角的正切值为.（向量法）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，设为平面的法向量，则，即，解得，令，得，由（1）知，为平面的一个法向量，，即二面角的平面角的正切值为.考点：余弦定理，直线与平面垂直的判定定理，二面角的判断方法，用向量法求二面角.20.（本小题满分12分）已知等差数列满足，，数列 . （1）求数列的通项公式； （2）证明：.【答案】（1），（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用等差数列的性质求，结合条件求出；（2）当时，，，令，利用错位相减法求数列的前项和，要证，需证，从而有.试题解析：（1）由，，又，，又，故. （1）求直线的方程； （2）求证：为定值.【答案】（1），（2）详见解析.【解析】22.（本小题满分14分）已知是函数且的零点. （1）证明：； （2）证明：.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）求，由得到，从而函数在上是增函数；（2）要证明成立，可证其等价不等式成立，再由证明.便可得，根据等比数列求和公式及不等式的放缩法得出结论.湖北省稳派教育2015届高三上学期强化训练（四）数学（理）试题
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