山

安徽省望江二中2015届高三复习班上学期第一次月考
数学（文）试题
一、：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
⒈ 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
⒉ 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
⒊ 已知 ，函数 的定义域为集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
⒋ 已知向量 ， ， ．若 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
⒌ 等差数列 中的 、 是函数 的极值点，则 （ ）
A. B. C. D.
⒍ 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
⒎ 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（ ）
A. B.
C. D.
⒏ 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
⒐ 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为（ ）
A. B. C. D.
⒑ 定义在 上的偶函数 ，满足 ， ，则函数 在区间 内零点的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D．至少 个

第Ⅱ卷（非 共100分）
二、题：本大题共5 小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11. 求值： .
12. 程序框图（如图所示），若输入 ， ， ,则输出的数是 ．
13. 已知 ，由不等式 ， ， ，….在 条
件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式 .
14. 已知圆 的圆心是直线 与 轴的交
点，且圆 与直线 相切.则圆 的方程为 .
15.已知函数 ，给出下列五个说法：
① ；②若 ，则 ；③ 在区间 上单调递增； ④将函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象；⑤ 的图象关于点 成中心对称．其中正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.
16.（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）求函数 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，满足 ， 且 ，求 、 的值.

17.（本小题满分12分）
如图， 是边长为2的正方形， ⊥平面 , , // 且 .
（Ⅰ）求证：平面 ⊥平面 ；
（Ⅱ）求几何体 的体积.
18.（本小题满分13分）
数列 的前 项和为 ， ．
（Ⅰ）设 ，证明：数列 是等比数列；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 .

19.（本小题满分12分）
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．
（Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率；
（Ⅱ）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100＋1102＝105)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．

20.（本小题满分13分）
已知椭圆 ： 的离心率为 ，左焦点为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于不同的 、 两点，且线段 的中点 在圆 上，求 的值.

21.（本小题满分14分）
已知函数 ( ).
（Ⅰ）当 时，求函数 的极值；
（Ⅱ）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．

安徽省望江中学2015届第一次月考
数学（文）试题答案

⒋【解析】∵ ，∴ ，即 ，∴ ，解得 ，选D.
⒌【解析】 .因为 、 是函数 的极值点，所以 、 是方程 的两实数根，则 .而 为等差数列，所以 ，即 ，从而 ，选A.
⒍【解析】由已知作出可行域为一个三角形区域，得到三个交点 ，当直线 平移通过点 时，目标函数值最小，此时 .
【考点定位 】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力.
⒎【解析】由图知，原几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体， ， ， ，则表面积为 ，选B.
⒏【答案】A.

⒑【解析】∵ 是定义在 上的偶函数，且周期是3， ，∴ ，即 .∴ ， ，所以方程 在 内，至少有4个解，选D．
二、题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
题号⒒⒓⒔⒕⒖
答案

①④
⒒【解析】 .
⒓【解析】程序框图的功能是：输出 中最大的数，
∵ ， ， ，所以输出的数为 .
⒔【解析】根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式，则 .
⒕【解析】令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为 .
因为直线 与圆 相切，所以圆心 到直线的距离等于半径，即 ，所以圆 的方程为 .

⒗ （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ） ，…………3分
则 的最小值是 ，最小正周期是 ；…………6分
（Ⅱ） ，则 ，…………7分
, ,所以 ，
所以 ， ，………… 9分
因为 ，所以由正弦定理得 ，……①…………10分
由余弦定理得 ，即 ……②…………11分
由①②解得： ， ．…………12分

⒘ （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）∵ ED⊥平面 ，AC 平面 ，∴ ED⊥AC．…………2分
∵ 是正方形，∴ BD⊥AC， …………4分
∴ AC⊥平面BDEF． …………6分
又AC⊂平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）连结FO，∵ EF DO，∴ 四边形EFOD是平行四边形．
由ED⊥平面 可得ED⊥DO，
∴ 四边形EFOD是矩形．…………8分
方法一：∴ ∥ ，
而ED⊥平面 ，∴ ⊥平面 ．
∵ 是边长为2的正方形，∴ 。
由（Ⅰ）知，点 、 到平面BDEF的距离分别是 、 ，
从而 ；
方法二：∵ 平面EAC⊥平面BDEF．
∴ 点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高，
且高 ．…………10分
∴几何体ABCDEF的体积
=
=2．
…………12分

⒙（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）因为 ，
所以 ① 当 时， ，则 ，………………………………1分
② 当 时， ，……………………2分
所以 ，即 ，……………………4分
所以 ，而 ，……………………5分
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ．……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．
所以 ① ，
② ，……………8分
②-①得： ，……………10分
.………………12分

⒚（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）分数在[120,130)内的频率为 ；
……………………2分
（Ⅱ）估计平均分为
.…… ………5分
（Ⅲ）由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)．[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)． ……………………7分
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为 、 ； ……………………8分
在[120,130) 分数段内抽取4人，并分别记为 、 、 、 ； ……………………9分
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件共有 ，
共15种． ………………10分
则事件A包含的基本事件有 ， 共9种． ……………………11分
∴ . ……………………12分
⒛（本小题满分13分）
【解析】（Ⅰ）由题意得 ， ………2分
解得 ………4分
所以椭圆C的方程为： ………6分
（Ⅱ）设点 、 的坐标分别为 ， ，线段 的中点为 ，
由 ，消去y得 ………8分
∵ ，∴ ………9分
∴ ， ………10分
∵点 在圆 上，∴ ，即 ……13分

21.（本小题满分14分）
【解析】（Ⅰ）当 时，
，………………………………………………2分
令 ，解得 .
当 时，得 或 ；当 时，得 .………………………4分
当 变化时， ， 的变化情况如下表：



极大
极小

∴当 时，函数 有极大值， ； …………………………5分
当 时，函数 有极大值， ， …………………………………6分
（Ⅱ）∵ ，∴对 ， 恒成立，即 对 恒成立， ………………………………………………………………7分
①当 时，有 ，即 对 恒成立，………………9分
∵ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，解得 ………………………………………………………………11分

山
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