2013届常德市一中高三第二次月考数学试卷 （理科）
本试卷满分150分， 考试时间120分钟. 2012年10月8日

一.：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答卷页的表格内．
1. 已知集合 ≥ ，集合 ，则 = （ ）
A． B． C． ≤ ≤ D． ≤
2. 设向量 ， ，则 是 ”的 （　　）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 设函数 ，则 的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4. 在 中， ， ， ，则 中最短边的边长等于（ ）
A. B. C . D .
5.设等差数列 满足： 则 （ ）
A．14B．21C．28D．35
6. 函数 图象的一个对称轴方程是( )
A. B. C. D.
7. 如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上
不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，
则 的最小值是 ( )
A． B. C. D.
8.函数 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是 （ ）
A． B． C． D．
二.题：（只要求写出最后结果，并把结果写在答卷页的相应位置上，每题5分，共35分）
9. 函数 的定义域为
10.设定义域为R的函数y＝f(x)满足： ，则不等式 的解集是
11. 的值等于 ．
12. 若向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为
13. 已知A、、B三点共线，且 , ,则实数t的值为
14. 若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是
15. ①若函数 在 上存在零点，则实数 的取值范围是
②若函数 在 上存在两个不同的零点，则实数 的取值范围是
三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分．解答中应写出字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 设锐角△A BC中，角A，B，C的对边分别为 ，b，c，满足： 。
（1）求角C；（2）若 ＝2，△ABC 的面积为 ，求 的值。

17. 已知向量a＝(sin θ，－2) 与向量b＝(1，cos θ ) 互相垂直，其中θ .
(1) 求sin θ和cos θ的值； (2) 若5cos(θ－ )＝35cos ，0＜φ＜ ，求 的值．

18. 已知等差数列 的公差不为零，且 ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．

19. 设函数 ，其中 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对 ， ，都有 ≤ 恒成立，求实数 的取值范围。

20. 某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮．
设建造塑胶跑道每平方米的造价为150元，草皮每平方米的造价为30元．
(1)设半圆的半径OA＝r (米)，求建造塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；
(2)设r [30,40]，问当r取何值时，这个运动场的造价最低？其最低造价为多少元？(精确到元)

21.已知数列 是首项为 的等比数列，且满足 ， .
⑴求常数 的值和等比数列 的通项公式；
⑵若依次抽去数列 中的第一项、第四项、第七项、……、第 项、……，余下的项按 原的顺序组成一个新的数列 ，设数列 的前 项和为 .问：是否存在正整数 ，使得 。若存在，试求所有满足条件的正整数 的值；若不存在，请说明理由.

2013届常德市一中高三第二次月考数学答案
理 科
一.：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答卷页的表格内．
（ 每小题5分，共4 0分．）

12345678
DADACBAD

二、题答案：（每小题5分，共3 5分．）
9. ； 10.
11. 2 ； 12. 1350 (或 )
13. -3 ； 14. ；
15.① ②

三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分．解答中应写出字说明、证明过程或演算步骤．）

16. （1）由 ，得 ,
即 ，又 ，所以 ；
（2）由 , 得
由 , 得 ，从而解得 。

17.（1）由向量a＝(sin θ，－2) 与向量b＝(1，cos θ)互相垂直，得 ，
又 ， 其中θ∈0，π2， 解得 ， 。
（2）由5cos(θ－φ)＝35cos φ，得 ，
将 ， 代入，得 ，
即 ，又0＜φ＜π2，所以， 。
18.（1）由 ，得 ；由 成等比数列，得 ，
其中 ，解得 ，所以， 。
（2）由 ，①
当 时， ；
当 时， ， ②
①-② 得 ，得 ，所以，
当 时， ；
当 时， 。总之， 。

19.（1）由 ，得 ，
即 ，其中 ，解得， ，
所以，函数 的单调递增区间是： ，递减区间是 。
（2）若对 ， ，都有 ≤ 恒成立，
只需 ≤ 。
由（1）得 在区间 上单调递减，所以，当 时
- ≤ ≤ ，同理，- ≤ ≤ ，
所以，- ≤ - ≤ ， ≤ ≤ ，
= ，所以， ≥ 。
20. (1) 设矩形 中 ，则 ，解得 ，
塑胶跑道面积S＝π[r2－(r－8)2]＋8×10 000－πr22r×2＝80 000r＋8πr－64π.
∵πr2＜10 000，∴0＜r＜100π.
(2)设运动场的造价为y元，y＝150×80 000r＋8πr－64π＋30×10 000－80 000r－8πr＋64π
＝300 000＋120×80 000r＋8πr－7 680π.
令f(r)＝80 000r＋8πr，∵f′(r)＝8π－80 000r2，当r∈[30,40]时，f′(r)＜0，
∴函数y＝300 000＋120×80 000r＋8πr－7 680π，在[30,40]上为减函数．
∴当r＝40时，yin≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元．

21. （1）解：由 得 ， ，
又因为存在常数 ，使得数列 为等比数列，
则 即 ，所以 .
故数列 为首项是2，公比为2的等比数列，即 .

（2）解：当 时， ；当 时， ，
所以 .
注意到 是首项 、公比 的等比数列， 是首项 、公比 的等比数列，则
（1）当 时，

；
（2）当 时，
.
假设存在正整数 满足条件，则 ，
则（1）当 时，
，
即当 时满足条件；
（2）当 时，
.
因为 ，所以此时无满足条件的正整数 .
综上所得，当且仅当 时， .

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