哈师大附中2013届高三第二次月考数学（理）试题
考试说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必写好姓名、并将考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．
3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置．
4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各组中的两个集合 和 ，表示同一集合的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
3． ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设函数 对任意 满足 ，且 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 ，则 可以是

7．曲线 ： 在点 处的切线 恰好经过坐标原点，则曲线 、直线 、 轴围成的图形面积为 （ ）
A． B． C． D．
8．在“家电下乡”活动中，某厂要将 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 辆甲型货车和 辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用 元，可装洗衣机 台；每辆乙型货车运输费用 元，可装洗衣机 台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 （ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
9．函数 的定义域为 ，若 且 时总有 ，则称 为单函数．下列命题中的真命题是 （ ）
A． 函数 是单函数；
B． 为单函数, ，若 ，则 ；
C．若 为单函数，则对于任意 ， 中至少有一个元素与 对应；
D．函数 在某区间上具有单调性，则 一定是单函数．
10．已知定义在 上的函数 满足： ，当 时， ．下列四个不等关系中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
11．若函数 在区间 上的图象如图所示,则 的值可能是 （ ）

12．已知函数 ，其导函数为 ．
① 的单调减区间是 ；
② 的极小值是 ；
③当 时，对任意的 且 ，恒有
④函数 满足
其中假命题的个数为 （ ）
A．0个 B．1个C．2个D．3个
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合 ， ，则 （ ） ______．
14．命题“ ，使得 ．”的否定是___________________．
15． 函数 对于 总有 ≥0 成立，则 = 　 ．
16． 已知函数 ，对任意的 ，都存在 ,使得 则实数 的取值范围是______________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
已知 是三个连续的自然数，且成等差数列， 成等比数列，求 的值．

18．（本题满分12分）
已知集合 ， ，
（1） 若 且 ，求 的值；
（2） 若 ，求 的取值范围．

19．（本题满分12分）
已知函数 ，其中
（1） 若 为R上的奇函数，求 的值；
（2） 若常数 ，且 对任意 恒成立，求 的取值范围．

20．（本题满分12分）
已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 两点（ 不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点．求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．

21．（本题满分12分）
已知函数 （ 为非零常数, 是自然对数的底数）,曲线 在点 处的切线与 轴平行．
（1）判断 的单调性；
（2）若 , 求 的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如多选，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正 中，点 , 分别在边 上,
且 ， 相交于点 ,
求证：
（1） 四点共圆；
（2） ．
23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴非负半轴重合．直线 的参数方程为： （ 为参数），曲线 的极坐标方程为： ．
（1）写出曲线 的直角坐标方程，并指明 是什么曲线；
（2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值．

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于 的不等式 （其中 ）．
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数 的取值范围．

参考答案

三、解答题
17．（本题满分12分）
解：因为 是三个连续的自然数，且成等差数列，故设 ，--3分
则 ，
由 成等比数列，
可得 ，解得 ，-----9分
所以 ------12分

综上 ．----12分
19．（本题满分12分）
解：（Ⅰ） 若 为奇函数， ， ，即 ，---2分
由 ，有 ， ---4分
此时， 是R上的奇函数，故所求 的值为
（Ⅱ） ① 当 时， 恒成立， ----6分
则 在 上单调递减，
对（2）式：令 ，当 时， ，
则 在 上单调递增， ---11分
由①、②可知，所求 的取值范围是 ．---12分
20．（本题满分12分）

联立 得 ，则----5分
-----8分
又
因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，

解得： ，且均满足 ------9分
当 时， 的方程 ，直线过点 ，与已知矛盾；
当 时， 的方程为 ，直线过定点
所以，直线 过定点，定点坐标为 ------12分

所以 ,故 所以 在 上是减函数．----4分
（Ⅱ） --6分
得
①当 时, 在 上单调递增
，所以 ．此时 ．----7分

综上当 时, 的最大值为 ---12分
22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
证明：（I）在 中，由
知： ≌ ，
即 ．
所以四点 共圆；---5分
（II）如图，连结 ．在 中， , ,由正弦定理知 由
23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

（2）把 代入 ，整理得 ，---6分
设其两根分别为 则 ，---8分
所以 ．----10分

不等式的解集为 ---5分
（1）设 ，---7分

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