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惠州市2013届高三第二次调研考试
数 学 (理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：锥体的体积公式 ,其中 是锥体的底面积， 为锥体的高．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数 ( 为虚数单位），则复数 在复平面上所对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
2．集合 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
3. 等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则公差 等于（ ）
A．1 B. C. D.
4. 已知向量 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5. “ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充要条件 D. 必要不充分条件
6．若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
7．某工厂从2004年开始，近八年以生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量 与时间 的函数图像可能是（ ）
8．已知函数 ，若有 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．函数 的定义域为 ．
10. 的展开式中的常数项为 ．
11．已知正方体 中， 、 分别为 、 的中点，那么异面直线 与 所成角的余弦值为________．
12.如图所示的算法流程图中, 若 则 的值等于 .
13．已知变量 满足约束条件 若目标函数 仅在点 处取得最小值, 则实数 的取值范围为 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14．（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ，它与曲线 （ 为参数）相交于两点 和 ，则 =_______.
15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆 外一点 引圆的切线 和割线 ，已知 ， ，圆 的半径为 ，则圆心 到 的距离为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的字说明、证明过程和演算步骤．）
16．（本小题满分12分）
已知向量 , ,且 ， 为锐角.
（1）求角 的大小；
（2）求函数 的值域.
17．（本题满分12分）
某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。
（1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；
（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。
18.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 , ， 为 的中点, .
(1) 求证： 平面 ；
(2) 若四棱锥 的体积为 ,
求二面角 的正切值.
19．（本小题满分14分）
已知直线 与椭圆 相交于 、 两点， 是线段 上的一点， ，且点 在直线 上.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦点关于直线 的对称点在单位圆 上，求椭圆的方程.
20．（本小题满分14分）
设 为数列 的前 项和，对任意的 ，都有 ( 为正常数)．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）数列 满足 ，求数列 的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列 的前 项和 ．
21．（本小题满分14分）
已知函数 是奇函数，且图像在点 处的切线斜率为3
（ 为自然对数的底数）．
（1）求实数 、 的值；
（2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值；
（3）当 时，证明： ．
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