惠能中学2013届高三第一次月考数学（理）试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知全集U= ，则正确表示集合 和 关系的韦恩（Venn）图是（ ）

A． B． C． D．
2、 已知i为虚数单位, 则复数i i 等于 （ ）
A . B. C. D.
3.命题“存在 ”的否定是（ ）
A.存在 B.不存在
C.对任意的 D.对任意的
4、“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、设 且 ，则锐角x为（ ）
A． 　 B． 　　 C． 　 　 D．

6、某社区现有 个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭。在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为 （ ）
A． B． C． D．
7、设 是公差不为0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =（ ）
A． B． C． D．
8、已知函数 ，若实数 是方程 的解， 且 ，则 的值（ ）
A．恒为负 B．等于零 C．恒为正 D．不小于零
二、填空题: 本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
(一)必做题
9、已知全集 ，函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 ，则集合 =______________
10、已知函数 的定义域为{0，1，2}，那么该函数的值域为_____________
11、从100张卡片（1号到100号）中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率是 .
12、已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是______
13、不等式 的解集为 　　
(二)选做题
14、（极坐标与参数方程）在极坐标系中，点 到直线 的距离为 ．
15、（几何证明选讲） 两弦相交于圆内一点，一弦被分为12和18两段，另一弦被分为3:8，则另一弦的长是________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出字说明，证明过程或演算步骤

16、（本小题满分12分）已知函数 (其中A>0, )的图象如图所示。
（Ⅰ）求A，w及j的值；
（Ⅱ）若cosa= ,求 的值。

17、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示.据统计，随机变量 的概率分布如下：

0123

0.1

0.3
（1）求 的值和 的数学期望；
（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉3次的概率.

18、如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为 边的中点， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值的大小．

19、已知等差数列 满足 ， 为 的前 项和.
（Ⅰ）求通项 及 ；
（Ⅱ）设 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列 的通项公式及其前 项和 .

20、已知函数 是 的一个极值点.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若当 时， 恒成立，求 的取值范围.

21、已知圆 直线
（Ⅰ）求圆 的圆心坐标和圆 的半径；
（Ⅱ）求证:直线 过定点；
（Ⅲ）判断直线 被圆 截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时 的值,以及最短长度.

2012—2013学年高三级第一次月考参考答案

三、简答题

17.（1）解：由概率分布的性质有0.1+a +2a +0.3 =1，解得a=0.2.
所以 的概率分布为

0123

0.10.20.40.3
所以 .
（2）解：设事件 表示“两个月内共被投诉3次”，事件 表示“两个月内有一个月被投诉3次，另外一个月被投诉0次”，事件 表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉1次”，
则由事件的独立性得， ，
，
所以 .
所以该企业在这两个月内共被消费者投诉3次的概率为0.22.
18、由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD= ，…………………2分
又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以 . …………………4分
因为SA⊥底面ABCD, 平面ABCD,
所以SA⊥PD, ………………………………………5分
由于SA∩AP=A 所以 平面SAP． ……6分
（Ⅱ）设Q为AD的中点,连结PQ, …………7分
由于SA⊥底面ABCD,且SA 平面SAD,
则平面SAD⊥平面PAD …………………8分
, PQ⊥平面SAD， SD 平面SAD, .
过Q作QR ，垂足为 ，连接 ，则 .
又 ， ，

所以 . …………………13分
所以二面角A－SD－P的余弦为 ． …………………14分
解法二：因为 底面 ，
所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角. ……1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1建立空间直角坐标系（如图）
由已知，P为BC中点．
于是A（0,0,0）、B（1,0,0） 、P（1,1,0）、D（0,2,0）、S（0,0,1）……………3分
（Ⅰ）易求得 ,
， ． …………………4分
因为 ， .
所以 ， .
由于 ，所以 平面 . …………………6分
（Ⅱ）设平面SPD的法向量为 .
由 ,得 解得 ，所以 . ……9分
又因为AB⊥平面SAD，所以 是平面SAD的法向量，
易得 . …………………9分
所以 . …………………13分
所以所求二面角 的余弦值为 ．…………………14分

20、解：（1）∵ 且 是 的一个极值点
∴ ， -------2分
∴ ------4分
由 得 或 ，∴函数 的单调增区间为 ， ；--6分
由 得 ，∴函数 的单调减区间为 ， ----8分
（2）由（1）知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增
∴当 时，函数 取得最小值， = ， ----10分
时， 恒成立等价于 -----12分
即 。-------14分

21、（I）圆 ：
可变为： ………1分
由此可知圆 的圆心 坐标为 ，半径为 ………3分
（Ⅱ）由直线
可得 ………4分
对于任意实数 ，要使上式成立，必须 ………5分
解得： ………6分
所以直线 过定点 ………7分

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