2012-2013学年度第一学期
高三级数学科（理科）期中考试试卷
本试卷分和非两部分，共10页，满分为150分。考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 40 分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若 ， ， ，则 （ ）
A．{2，4} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}
2．若复数 （ 为虚数单位）是纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C.0 D.1
3．等差数列 的前n项和为 ，且9 ，3 ， 成等比数列. 若 =3，则 = ( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 5
4. 设 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程 有两个不相等的实数根的概率为（ ）
A B C D
5. 已知变量x、y满足条件 则 的最大值是( )
A.2 B.5C.6D.8
6. 下列各命题中正确的命题是 （ ）
①命题“ 或 ”为真命题，则命题“ ”和命题“ ”均为真命题；
② 命题“ ”的否定是“ ” ；
③“函数 最小正周期为 ”是“ ”的必要不充分条件； ④“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ” ．
A．②③ B．①②③ C．①②④D．③④
7. 把边长为 的正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面 ，形成三棱锥 的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）
A. B. C. D.
8.点 为双曲线 ： 和圆 ： 的一个交点，且 ，其中 为双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题(共 110 分)
二、题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
9. 若向量 , 满足条件 ,则 =______
10. 在 ABC中， ， ，面积为 ，那么 的长度为________
11. 右图是求 的值的程序框图，则正整数 __
12．已知圆 的圆心与抛物线 的焦点关于 轴对称,
又直线 与圆 相切,则圆 的标准方程为 _
13.已知函数 ，令 ，
则二项式 ，展开式中常数项是第 __________项.
第14、15题为选做题，只能选做一题，全答的，只计前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选讲）在极坐标系 中，
曲线 与 的交点的极坐标为 .
15．（几何证明选讲）如图, 是圆 的直径，直线 与
圆 相切于点 ， 于点 ，若圆 的面积为 ， ，
则 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题共12分）已知函数 ( R).
（1）求 的最小正周期和最大值；
（2）若 为锐角，且 ，求 的值.
17.（本小题共12分）今有4种股票和3种基金，李先生欲购买其中的任意3种产品.
（1）求李先生所购买的3种产品中恰好只含一种基金的概率；
（2）记购买的3种产品中，包含基金的种数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.

18.（本小题共14分）如图，在长方体 中， ， 为 中点.
（1）求证： ；
（2）在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求 的长；若不存在，说明理由.
（3）若AB＝2，求二面角 的平面角的余弦值。

19．（本小题共14分）已知 是函数 的一个极值点。
（1）求 的值；
（2）求函数 的单调区间；
（3）若直线 与函数 的图象有3个交点，求 的取值范围。

20.（本小题共14分）直线 与椭圆 交于 ， 两点，已知 ， ，若 且椭圆的离心率 ，又椭圆经过点 ， 为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 过椭圆的焦点 （ 为半焦距），求直线 的斜率 的值；
（3）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，
请说明理由.

21．（本小题共14分）已知数列 中， ，对于任意的 ，有 ,
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 满足： ，
，求数列 的通项公式；
（3）设 ，是否存在实数 ，当 时， 恒成立，若存在，求实数 的取值范围，若不存在，请说明理由。

2012-2013学年度高三级第一学期期中数学科（理数）考试答案
一、选择题（每题5分，共40分）
题号12345678
答案BBCACADC
二、题（每题5分，共30分）
9． ; 10. 49 ; 11. 100 ; 12. ； 13. 5
14. 15. 1
三、解答题（写出必要的字说明，计算或证明过程。共80分）
16．（本小题共12分）

17．（本小题共12分）
解：（1）设事件A表示“李先生所购买的3种产品中，恰好只含一种基金” …………1分
…………3分
答：李先生所购买的3种产品中恰好只含一种基金的概率为 …………4分
（2） …………5分
…………9分

…………12分
18．（本小题共14分）
解：（1）连结 长方体 中， ，
则 …………1分
∵
∴ …………2分
∴ 面 …………3分
又 面
∴ …………4分
（2）存在 的中点P，使得 ，
证明：取 的中点为 ， 中点为 ，连接
在 中，
又
∴ Ks5u
∴四边形PQDE为平行四边形
∴
又
∴
此时 ………8分
（3）法一：在平面 上，过点 作 交 于 ，连结
∵
∴
∴ 为二面角 的平面角
在 中，
又 ，则
在 中，
∴
即二面角 的平面角的余弦值为 .
法二：因为
建立如图所示坐标系

∵
∴平面ABE的一个法向量
设平面 的法向量为

由 ，得
取 ，则平面 的一个法向量
∴
经检验，二面角B－AE－B 所成平面角为锐角，其余弦值为
19．（本小题共14分）
解：（1）因为 …………2分
所以 ， 因此 …………4分
（2）由（1）知，

…………5分
当 时，
当 时， …………6分
所以 的单调增区间是
的单调减区间是 …………8分
（3）由（2）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加，
且当 或 时，
所以 的极大值为 ，极小值为 …………10分
因为

所以在 的三个单调区间
直线 与 的图象各有一个交点，当且仅当 …………13分
因此， 的取值范围为 …………14分

20．（本小题共14分）
解：（1）∵ ……2分
∴ ……………3分
∴椭圆的方程为 ……………4分
（2）依题意，设 的方程为
由 ………………5分
显然
………………6分
由已知 得：


解得 ……………………8分
（3）①当直线 斜率不存在时，即 ，
由已知 ，得
又 在椭圆上，
所以
,三角形的面积为定值．………10分
②当直线 斜率存在时：设 的方程为

必须 即
得到 ， ………………11分
∵ ，∴
代入整理得： …………………12分
…………13分

所以三角形的面积为定值． ……14分
21．（本小题共14分）
解：（1）取 ，则 　∴ （ ）
∴ 是公差为 ，首项为 的等差数列 ∴ 　　　 …………4分
（2）∵ ①
∴ 　②
①-②得： ∴ …………6分
当 时， 　∴ ，满足上式 ∴ …………8分
（3） 　假设存在 ，使
．
． ．　　
当 为正偶函数时， 恒成立，

∴ ．
∴ …………11分
当 为正奇数时， 恒成立．
∴
∴ ．∴ ．
综上可知，存在实数 ．使 时， 恒成立． …………14分

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