2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二

一、填空题（64分）
1．设集合 ，若 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 ，则集合 ．
2．函数 的值域为 ．
3．设 为正实数， ， ，则 ．
4．如果 ， ，那么 的取值范围是 ．
5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）
6．在四面体 中，已知 ， ， ，则四面体 的外接球的半径为 ．
7．直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线上的一点， ，则点 的坐标为 ．
8．已知 C ，则数列 中整数项的个数为 ．
二、解答题（56分）
9．（16分）设函数 ，实数 满足 ， ，求 的值．

10．（20分）已知数列 满足： R且 ，
N ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，试比较 与 的大小．

11．（20分）作斜率为 的直线 与椭圆 ： 交于 两点（如图所示），且 在直线 的左上方．
（1）证明：△ 的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若 ，求△ 的面积．

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二
参考答案
1． . 提示：显然，在 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以
，
故 ，于是集合 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合 ．
2． . 提示：设 ，且 ，则
．
设 ，则 ，且 ，所以 ．

3．-1. 提示：由 ，得 ．又
，
即
． ①
于是
． ②
再由不等式①中等号成立的条件，得 ．与②联立解得 或
故 ．
4． . 提示：不等式

等价于
.
又 是 上的增函数，所以 ，故
Z)．
因为 ，所以 的取值范围是 ．
5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：
（1）有一个项目有3人参加，共有 种方案；
（2）有两个项目各有2人参加，共有 种方案；
所以满足题设要求的方案数为 ．

6． . 提示：设四面体 的外接球球心为 ，则 在过△ 的外心 且垂直于平面 的垂线上．由题设知，△ 是正三角形，则点 为△ 的中心．设 分别为 的中点，则 在 上，且 ， ．
因为 ，设 与平面 所成角为 ，可求得 ．
在△ 中， ．
由余弦定理得
，
故 ．四边形 的外接圆的直径
．
故球 的半径 ．
7． 或 ．提示： 设 ，由 得 ，则 ， ．
又 ，所以
，
．
因为 ，所以 ，即有
，
即
，
即
，
即
．
显然 ，否则 ，则点 在直线 上，从而点 与点 或点 重合．所以 ，解得 ．
故所求点 的坐标为 或 ．

8．15. 提示： C ．
要使 为整数，必有 均为整数，从而 ．
当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时， 和 均为非负整数，所以 为整数，共有14个．
当 时， C ，在C 中， 中因数2的个数为
，
同理可计算得 中因数2的个数为82， 中因数2的个数为110，所以C 中因数2的个数为 ，故 是整数．
当 时， C ，在C 中，同样可求得 中因数2的个数为88, 中因数2的个数为105,故C 中因数2的个数为 ，故 不是整数．
因此，整数项的个数为 ．

9．因为 ，所以
，
所以 或 ，又因为 ，所以 ，所以 ．
又由 有意义知 ，从而
，
于是
．
所以
．
从而
．
又
，
所以
，
故 ．解得 或 （舍去）．
把 代入 解得 ．
所以 ， ．

10．（1）由原式变形得
，
则
．
记 ，则 ， ．
又 ，从而有
，
故 ，于是有 ．
（2）

，
显然在 时恒有 ，故 ．

11．（1）设直线 ： ， ．
将 代入 中，化简整理得
．
于是有 ， ． 则
，
上式中，
分子

，
从而， ．
又 在直线 的左上方，因此， 的角平分线是平行于 轴的直线，所以△ 的内切圆的圆心在直线 上．
（2）若 时，结合（1）的结论可知 ．
直线 的方程为： ，代入 中，消去 得
．
它的两根分别是 和 ，所以 ，即 ．所以
．
同理可求得 ．
所以

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