2015年全国各地高考文科数学试题分类汇编7：立体几何
一、
1 ．（2015年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2 ．（2015年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ,画该四面体三视图中的正视图时,以 平面为投影面,则得到正视图可以为
（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
3 ．（2015年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,
则该几何的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4 ．（2015年高考大纲卷（文））已知正四棱锥
的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5 ．（2015年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,
则该几何体可以是（ ）
A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台
【答案】D
6 ．（2015年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:c)如图所示,
则该几何体的体积是（ ）
A．108c3B．100 c3C．92c3D．84c3
【答案】B
7 ．（2015年高考北京卷（文））如图,在正方体 中, 为
对角线 的三等分点,则 到各顶点的距离的不同取值有 （ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
8 ．（2015年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图 2所示,则该三棱锥
的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9 ．（2015年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1
的正方形,侧视图是一个面积为 的矩形,则该正方体的正视图的面积等于（ ）
A． B．1C． D．
【答案】D
10．（2015年高考浙江卷（文））设.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（ ）
A．若∥α,n∥α,则∥nB．若∥α,∥β,则α∥β
C．若∥n,⊥α,则n⊥αD．若∥α,α⊥β,则⊥β
【答案】C
11．（2015年高考辽宁卷（文））已知三棱柱 的6个顶点都在球 的球面上,若 , , ,则球 的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
12．（2015年高考广东卷（文））设 为直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若 , ,则 B．若 , ,则
C．若 , ,则 D．若 , ,则
【答案】B
13．（2015年高考山东卷（文 ））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)
视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）
A． B． C． D．8,8
【答案】B
14．（2015年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体
的体积为（ ）
A．200+9πB．200+18πC．140+9πD．140+18π
【答案】A
二、题
15．（2015年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD的体积为 ,底面
边长为 ,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.
【答案】
16．（2015年高考湖北卷（文））我国古代数学 名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
【答案】3
17．（2015年高考课标Ⅰ卷（文））已知 是球 的直径 上一点, , 平面 , 为垂足, 截球 所得截面的面积为 ,则球 的表面积为_______.
【答案】 ;
18．（2015年高考北京卷（文））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.
【答案】3
19．（2015年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.
【答案】
20．（2015年高考大纲卷（文））已知圆 和圆 是球 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 的半径, 则球 的表面积等于______.
【答案】
21．（2015年上海高考数学试题（文科））已知圆柱 的母线长为 ,底面半径为 , 是上地面圆心, 、 是下底面圆周上两个不同的点, 是母线,如图.若 直线 与 所成角的大小为 ,则 ________.
【答案】
22．（2015年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 , 则正方体的棱长为 ______.
【答案】
23．（2015年高考辽宁卷（文））某几何体的三视图如图所示,则该
几何体的体积是____________.
【答案】
24．（2015年高考江西卷（文））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同
一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.
【答案】4
25．（2015年高考安徽（文））如图,正方体
的棱长为1, 为 的中点,
为 线段 上的动点,过点 的平
面截该正方体所得的截面记为 ,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
①当 时, 为四边形;②当 时, 为等腰梯形;
③当 时, 与 的交点 满足 ;
④当 时, 为六边形;⑤当 时, 的面积为 .
【答案】①②③⑤
三、解答题
26．（2015年高考辽宁卷（文））如图,
(I)求证:
(II)设
【答案】
27．（2015年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;
(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求PGGC 的值.
【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形 是等腰三角形,且底角等于30°,且 ,所以;、 ,又因为 ;
(Ⅱ)设 ,由(1)知 ,连接 ,所以 与面 所成的角是 ,由已知及(1)知: , ,所以 与面 所成的角的正切值是 ;
(Ⅲ)由已知得到: ,因为 ,在 中, ,设
28．（2015年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
【答案】解: (Ⅰ) 设 .
.
.(证毕)
(Ⅱ) .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
所以, .
29．（2015年高考福建卷（文））如图,在四棱锥 中, , , ,
, , , .
(1)当正视图方向与向量 的方向相同时,画出四棱锥 的正视图.
(要求标出尺寸,并画出演算过程);
(2)若 为 的中点,求证: ;
(3)求三棱锥 的体积.
【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形 中,过点 作 ,垂足为 , 由已知得,四边形 为矩形, ,在 中,由 , ,依勾股定理得:
,从而 ,又由 平面 得,
从而在 中,由 , ,得
正视图如右图所示:
(Ⅱ)取 中点 ,连结 , ,在 中, 是 中点,
∴ , ,又 ,
∴ , , ∴四边形 为平行四边形,∴
又 平面 , 平面 , ∴ 平面
(Ⅲ) ,
又 , ,所以
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)取 的中点 ,连结 ,
在梯形 中, ,且 ,∴四边形 为平行四边形
∴ ,又 平面 , 平面
∴ 平面 ,又在 中,
平面 , 平面
∴ 平面 .又 ,
∴平面 平面 ,又 平面
∴ 平面
(Ⅲ)同解法一
30．（2015年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形 中, 分别是 边上的点, , 是 的中点, 与 交于点 ,将 沿 折起,得到如图5所示的三棱锥 ,其中 .
(1) 证明: //平面 ;
(2) 证明: 平面 ;
(3) 当 时,求三棱锥 的体积 .
【答案】(1)在等边三角形 中,
,在折叠后的三棱锥 中
也成立, , 平面 ,
平面 , 平面 ;
(2)在等边三角形 中, 是 的中点,所以 ①,
.
在三棱锥 中, , ②
;
(3)由(1)可知 ,结合(2)可得 .
31．（2015年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC= ,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.
(I)证明:AD⊥C1E;
(II)当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.
【答案】解: (Ⅰ) .
.
(证毕)
(Ⅱ) .
.
32．（2015年高考北京卷（文））如图,在四棱锥 中, , , ,平面 底面 , , 和 分别是 和 的中点,求证:
(1) 底面 ;(2) 平面 ;(3)平面 平面
【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD
所以PA垂直底面ABCD.
(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点
所以AB∥DE,且AB=DE
所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD,又因为BE 平面PAD,AD 平面PAD
所以BE∥平面PAD.
(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形
所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
33．（2015年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱 中, ,
, .
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若 , ,求三棱柱 的体积.
【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接 、 、 ,
因为CA=CB,所以 ,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故 为等边三角形,所以OA ⊥AB.
因为OC⨅OA =O,所以AB 平面OA C.又A CC平面OA C,故AB AC.
(II)由题设知
34．（2015年高考山东卷（文））如图,四棱锥 中, , ,
分别为 的中点
(Ⅰ)求证: ;(Ⅱ)求证:
【答案】
35．（2015年高考四川卷（文））
如图,在三棱柱 中,侧棱 底面 , , ,
分别是线段 的中点, 是线段 上异于端点的点.
(Ⅰ)在平面 内,试作出过点 与平面 平行的直线 ,说明理由,并证明直线 平面 ;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 交 于点 ,求三棱锥 的体积.
(锥体体积公式: ,其中 为底面面积, 为高)
【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点 作直线 ,因为 在
平面 外,BC在平面 内,由直线与平面平行的判定定理可知, 平面 .
由已知, , 是BC中点,所以BC⊥ AD,则直线 ,
又因为 底面 ,所以 ,
又因为AD, 在平面 内,且AD与 相交,
所以直线 平面
(Ⅱ)过D作 于E,因为 平面 ,所以 ,
又因为AC, 在平面 内,且AC与 相交,所以 平面 ,
由 ,∠BAC ,有 ,∠DAC ,
所以在△ACD中, ,
又 ,所以
因此三棱锥 的体积为
36．（2015年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为 .同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为 , ,且 . 过 , 的中点 , 且与直线 平行的平面截多面体 所得的截面 为该多面体的一个中截面,其面积记为 .
(Ⅰ)证明:中截面 是梯形;
(Ⅱ)在△ABC中,记 ,BC边上的高为 ,面积为 . 在估测三角形 区域内正下方的矿藏储量(即多面体 的体积 )时,可用近似公式 来估算. 已知 ,试判断 与V的大小关系,并加以证明.
【答案】(Ⅰ)依题意 平面 , 平面 , 平面 ,
所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又 , , ,且 .
因此四边形 、 均是梯形.
由 ∥平面 , 平面 ,且平面 平面 ,
可得AA2∥E,即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.
又 、 分别为 、 的中点,
则 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点,
即 、 分别为梯形 、 的中位线.
因此 , ,
而 ,故 ,所以中截面 是梯形.
(Ⅱ) . 证明如下:
由 平面 , 平面 ,可得 .
而E∥A1A2,所以 ,同理可得 .
由 是△ 的中位线,可得 即为梯形 的高,
因此 ,
即 .
又 ,所以 .
于是 .
由 ,得 , ,故 .
37．（2015年高考课标Ⅱ卷（文 ））如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E
分别是AB,BB1的中点.
(1)证明: BC1//平面A1CD;
(2)设AA1= AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥C一A1DE的体积.
【答案】
38．（2015年高考大纲卷（文））如图,四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=900，BC=2AD，△PAB与△PAD
都是边长为2的等边三角形.
(I)证明:PB⊥CD； (II)求点A到平面PCD的距离.
【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.
过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.
连结OA,OB,OD,OE.
由 和 都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,
故 ,从而 .
因为O是BD的中点,E是BC的中点,
所以OE//CD.因此, .
(Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB.
由(Ⅰ)知, ,故 .
又 , ,
故 为等腰三角形,因此, .
又 ,所以 平面PCD.
因为AE//CD, 平面PCD, 平面PCD,所以AE//平面PCD.
因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而 ,
所以A至平面PCD的距离为1.
39．（2015年高考安徽（文））如图,四棱锥 的底面 是
边长为2的菱形, .已知 .
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若 为 的中点,求三菱锥 的体积.
【答案】解:
(1)证明:连接 交于 点
又 是菱形
而 ⊥面 ⊥
(2) 由(1) ⊥面
=
40．（2015年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥
底面边长为 ,高为 ,求该三棱锥的体积及表面积.
【答案】
41．（2015年高考天津卷（文））
如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.
(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
【答案】
42．（2015年高考重庆卷（文））(本小题满分12 分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
如题(19)图,四棱锥 中, ⊥底面 , , ,
(Ⅰ)求证: ⊥平面 ;
(Ⅱ)若侧棱 上的点 满足 ,求三棱锥 的体积.
【答案】
43．（2015年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD ? A1B1C1D1中,AB//CD,
AD⊥AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离
【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则
在
在 ,故
由
(2)
,
同理,
因此 .设点B1到平面 的距离为d,则
,从而
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