本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.1. 复数（是虚数单位）在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 命题“若，则一元二次方程有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ）A.0 B.2 C.4 D.不确定逆否命题为：“若方程+x+a=0没有实根，则m≥0”，根据原命题与逆否命题，真假一致，可知命题为真；3. 若，且与的夹角为，当取得最小值时，实数的值为（ ）A.2 B. C.1 D.4. 一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位:），则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.5. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D.6. 已知数列是等差数列，，设为数列的前项和，则（ ）A.2015 B. C.3021 D.【答案】C【解析】，则公差，所以方法一：7. 已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（ ）①存在一条直线； ②存在一个平面；③存在两条平行直线；④存在两条异面直线.A.①③ B.②④ C.①④ D.②③8. 设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数，是的导函数，当时；；当且时，，则函数在区间上的零点个数为（ ）A.2 B.4 C.6 D.89. 在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 10. 设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是（ ）A. B. C.2 D.4【答案】A第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知，则 .12. 已知函数（且）的图象恒过定点，则不等式组所表示的平面区域的面积是 .13. 已知，且，则的最小值是 .【答案】【解析】，又，，（当且仅当且时取等号），即的最小值为.考点：基本不等式的应用.14. 在三棱锥中，，，，则与平面所成角的余弦值为 .15. 方程的曲线即为函数的图象，对于函数，下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号）①函数在上是单调递减函数； ②函数的值域是；③函数的图象不经过第一象限； ④函数的图象关于直线对称； ⑤函数至少存在一个零点.三、解答题:本大题共6小题,满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）已知函数，其中.（Ⅰ）若，求函数的极值点；（Ⅱ）若在区间内单调递增，求实数的取值范围.17. （本小题满分12分）已知函数的部分图象如图所示，其中点为最高点，点为图象与轴的交点，在中，角对边为，，且满足.（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求函数的单调递增区间. 18. （本小题满分12分）如图1，已知的直径，点、为上两点，且，，为弧的中点．将沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在弧上是否存在点，使得平面？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角的正弦值.由（Ⅰ），知平面，故平面平面，则平面，因此，在弧上存在点，使得平面，且点为弧的中点．（Ⅲ）过作于，连．因为，平面平面，故平面．19. （本小题满分13分）学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．（Ⅰ）求水面宽；（Ⅱ）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？（Ⅲ）现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（Ⅱ）已知，是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.21. （本小题满分13分）已知数列的前项和为满足.（Ⅰ）函数与函数互为反函数，令，求数列的前项和；（Ⅱ）已知数列满足，证明:对任意的整数，有. 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 1 每天发布最有价值的安徽省“皖西七校”2015高三联合考试试题（数学 理）
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