开平二中2015届高三年级期中考试题数 学（理科）本试卷共2页，共21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i（i为虚数单位），则等于（ ） A． B． C． D．2．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D．3．已知函数, 则的值是 （ ）A． B． C． D． 4．设向量,,则下列结论中正确的是 B． C． D．5. 已知是实数，则“且”是“且”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （　 ）Ａ．2450 Ｂ．2500Ｃ．2550 Ｄ．26527．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ） A． B． C． D．8．在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共小题，考生作答小题，每小题5分，满分0分．（一）必做题（～13题）0. （Ⅰ）若a=1，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求a的取值范围。2015届高三数学期中考试参考答案（理科）题号12345678答案ADBDCCCC9、 10． 11． 12. 13. 9 14.15. 16．（本小题满分12分） …………… 2分（2） …………… 3分. …………… 5分 周期 …………… 6分（3）解：由（1）可知，∴，得. …………… 8分∴ …………… 9分 …………… 10分 …………… 11分. …………… 12分17．（本小题满分12分）解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=P()=P(A)P()P()=答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分（2）x的可能值为0,1,2,3P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)所以中奖人数ξ的分布列为x0123PEx=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分18.（本小题满分l4分） (本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）四棱锥的体积 ……2分 (2)∵ 平面，平面,∴.∵，平面,平面,∴平面.∵平面∴， ……5分∵, ,平面,平面,∴平面.∵平面,∴. ……7分（2）解法1：由（1）知，，又， 则是的中点, 在Rt△中,得，在Rt△中,得, ∴.设点到平面的距离为，由， ……8分得.解得， ……10分设直线与平面所成的角为，则， ……12分 ∴. ∴ 直线与平面所成的角的余弦值为. ……14分解法2： 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. ∴. ……8分设平面的一个法向量为，由可得：令，得.∴. ……10分设直线与平面所成的角为，则. ……12分∴.∴直线与平面所成的角的余弦值为. ……14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：，∴ ……… 1分∴. ∴ …………… 3分∴ ……………… 1分是公比为2首项为1的等比数列 . ……… 8分（2）解：∵， ∴. ① ……… 9分 .② …………… 10分①②得 …………… 11分 …………… 12分 . …………… 13分 ∴. …………… 14分20．（本小题满分1分）的离心率, ∴. …… 2分 解得. ∴ 椭圆的方程为． …… 4分（2）． 由 得. ∴ 圆的半径为． …… 6分∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，∴ ，即． ∴ 弦长． …… 8分∴的面积 …… 9分 . …… 12分 当且仅当，即时，等号成立. ∴ 的面积的最大值为． …… 14分解法2：依题意，圆心为． 由 得.∴ 圆的半径为． …… 6分 ∴ 圆的方程为．∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，∴ ，即． 在圆的方程中，令，得， ∴ 弦长． …… 8分∴的面积 …… 9分 . ……12分 当且仅当，即时，等号成立. ∴ 的面积的最大值为． … 14分21、【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-f(x)极大值 当等价于 解不等式组得-5
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