2015年马鞍山市高班第一次教学质量检测理科数学试题在后面本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项： 1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致． 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号（四位数字）． 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．1． 设a,b为实数，若复数（其中i为虚单位）,则( ▲ )A． B． C． D． 2． 已知，则 =( ▲ )A．B． C． D． 3． 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( ▲ )A． B． C． D． 4． 某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的体积是( ▲ )A． B． C．2D．35．若曲线在处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂 直，则实数a等于( ▲ )A．－2 B．－1 C．1 D．26．已知，且满足．那么的取值范围是( ▲ )A． B． C． D．7．公比不为的等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则=( ▲ )A． B． C． D．408．已知，分别是双曲线：的两个焦点，双曲线和圆：的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为( ▲ )A． B． C． D．9． 如图，是圆的直径，点在圆上，，，，则的值为( ▲ )A． B．C． D．10．用数字01，2，3组成数字可以重复的四位数其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( ▲ )A．54 B． 72 C．90 D． 108第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11．抛物线上到焦点的距离等于9的点的横坐标是▲ ．12．将函数的图象先向左平移个单位，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为▲ ．13．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的值为▲ ．14．设则▲ ．15．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，； ②函数有2个零点；③的解集为； ④，都有．其中所有正确的命题序号是▲ ． 三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本题满分12分)已知函数．（Ⅰ ）求的最大值；（Ⅱ ）若的内角的对边分别为，且满足，，求的值．17．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球。现从甲、乙两个盒内各任取2个球。（Ⅰ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅱ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．18(本题满分13分)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC=3，点E在棱PB上，且PE＝2EB．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．19． (本题满分12分)已知函数．（Ⅰ）若在处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．20． (本题满分13分)已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线与椭圆交于、两点，满足直线，，的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．21． (本题满分13分)已知数列中,． （Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）设,,求的解析式（Ⅲ）求证：对不等式恒成立马鞍山市201届高三第一次教学质量检测理科数学试题参考答案一、选择题：答案BCCADBADAD二、填空题： 612. 13. 1014.15. ③④三、解答题： 解：（Ⅰ） 6分 （Ⅱ）由条件得 化简得 定理得： 8分又由余弦定理得 …………………………………………………………（10分 …………………………………………………（12分 17. 解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件。由于事件，互斥，且， 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为分（Ⅱ）可能的取值为。，，从而。的分布列为：0123的数学期望分18. 解析：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB.又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.（Ⅱ）∵PC⊥AD在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝，∴∠DCA＝∠BAC＝，又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形，∴DC＝AC＝(AB)＝2AB.连接BD，交AC于点M，则＝＝2.连接EM，在△BPD中，＝＝2，∴PD∥EM，又PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC.（Ⅲ）以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(0,3,0)，C(3,3,0)，P(0,0,3)，E (0,2,1)设n1＝(x,y,1)为平面AEC的一个法向量，则n1⊥，n1⊥，∵＝(3,3,0)，＝(0,2,1)，∴解得x＝，y＝－，∴n1＝.设n2＝(x′，y′，1)为平面PBC的一个法向量，则n2⊥，n2⊥，又＝(,0,0)，＝(0)，∴解得x′＝0，y′＝1，∴n2＝(0,1,1)．为平面PBC的一个法向量∵cos〈n1，n2〉＝＝，∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为..注：以其他方式建系的参照给分。19. 解：（Ⅰ）∵，∴函数的定义域为． ∴． ∵在处取得极值， 即， ∴． 当时，在内，在内，∴是函数的极小值点． ∴． （Ⅱ）∵，∴． ∵ x∈， ∴，∴在上递增；在上递减， ①当时，在单调递增， ∴； ②当，即时，在单调递增，在单调递减，∴； ③当，即时，在单调递减，∴．20. 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为， 则， 解得， 所以，椭圆方程为． ……………………………………分（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，， 由 消去得， 则，且，．故．因为直线，，的斜率依次成等比数列，所以，，即， 又，所以，即．由于直线，的斜率存在，且△＞0，得且．设为点到直线的距离，则，所以的取值范围为． 21. 解:由故是公差是1的等差数列. …………………………………… 4分 （Ⅱ）= …………………… 6分因为=所以，当时， ………………… 7分当时,……….(1)得……(2) = ……………………… 9分综上所述: ………………… 10分（Ⅲ）因为 又,易验证当,3时不等式成立 …………… 11分假设,不等式成立,即两边乘以3得:又因为所以即时不等式成立.故不等式恒成立. ………………… 13分第4题图侧（左）视图正（主）视图俯视图第13题图安徽省马鞍山市2015届高三第一次教学质量检测 数学理试题 Word版含答案
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