2013 2014学年度第一学期期末高三联考试卷 数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知全集U=R,集合 ▲ ．2．若，其中都是实数，是虚数单位，则= ▲ ．3．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 ▲ 人．4．集合A＝{2，3}B＝{1，2，3}, 从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 ▲ ． 5．若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是 ▲ ．6．按右面的程序框图运行后,输出的应为 ▲ ．7．已知等比数列的公比,且成等差数列,则的前8项和为 ▲ ．8．长方体中,,则四面体的体积为 ▲ ．9．函数的图像如图，则= ▲ ．10．已知平面向量，，若，则的值为 ▲ ．11．已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．12．定义域为的偶函数满足对,有,且当 时,,若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是 ▲ ．13．如图，点C为半圆的直径AB延长线上一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若,则的面积的最大值为 ▲ ．14．已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为 ▲ ． 二．解答题：(本大题共6个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．已知函数.(1)求的值;(2)设的值16．如图四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中点G是AEDF的交点.（1）求证GH∥平面CDE；（2）求证面ADEF面ABCD.某企业有两个生产车间分别在、两个位置，车间有100名员工，车间有400名员工。现要在公路上找一点,修一条公路，并在处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。已知、、中任意两点间的距离均有，设，所有员工从车间到食堂步行的总路程为.（1）写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；（2）问食堂建在距离多远时，可使总路程最少已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点,(i)若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.19．已知各项均为正数的数列前项的和为，数列的前项的和为，且．对恒成立，求的最小值；⑶若成等差数列，求正整数的值．在上为单调增函数，求的取值范围；(3)设为正实数，且，求证：．2013 2014学年度第一学期高三联考试卷 数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知全集U=R,集合{xx≤2}2．若，其中都是实数，是虚数单位，则= . 3．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．答案：7604．集合A＝{2，3}B＝{1，2，3}, 从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 5．若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是6．按右面的程序框图运行后,输出的应为 407．已知等比数列的公比,且成等差数列,则的前8项和为． 255长方体中,,则四面体的体积为_____________.6的图像如图，则= 110．已知平面向量，，若，则的值为 11．已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ 12．定义域为的偶函数满足对,有,且当 时,,若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是13．如图，点C为半圆的直径AB延长线上一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若,则的面积的最大值为 14．已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为 二．解答题：(本大题共6个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．已知函数.(1)求的值;(2)设的值【答案】解: (1) …………………………6分(2) …8分…10分 …………12分 ……………14分16．如图四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中点G是AEDF的交点.（1）求证GH∥平面CDE；（2）求证面ADEF面ABCD.证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，∴中，， ……………………2分 ∵ABCD为平行四边形∴AB∥CD ∴，……………………4分又∵∴平面 …………………7分⑵， 所以， ………………9分 又因为四边形为正方形，， ………………10分，，- ………………12分. …………………………14分17．某企业有两个生产车间分别在、两个位置，车间有100名员工，车间有400名员工。现要在公路上找一点,修一条公路，并在处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。已知、、中任意两点间的距离均有，设，所有员工从车间到食堂步行的总路程为.（1）写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；（2）问食堂建在距离多远时，可使总路程最少解：（1）在中，，………………2分，则。…………………………4分，其中。 ……6分（2）。…………………8分令得。记……………………10分当时，，当时，，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以当，即时，取得最小值。…………………………12分此时，，答：当时，可使总路程最少。…………………………14分已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点,(i)若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.解:(1)设椭圆的方程为则. 由,得∴椭圆C的方程为 ……………………………4分(2)(i)解:设,直线的方程为,代入,得 由,解得 由韦达定理得.……………………………6分四边形的面积∴当, ……………………………9分(ii)解:当,则、的斜率之和为0,设直线的斜率为则的斜率为,的直线方程为由 (1)代入(2)整理得………11分同理的直线方程为,可得∴ [来源 …………… 所以的斜率为定值 ……………………………16分19．已知各项均为正数的数列前项的和为，数列的前项的和为，且．对恒成立，求的最小值；⑶若成等差数列，求正整数的值．，其中是数列的前项和，是数列的前项和，且，当时，由，解得，……………………………………2分当时，由，解得； …………………………4分由，知，两式相减得，即，…………5分亦即，从而，再次相减得，又，所以所以数列是首项为1，公比为的等比数列， …………………………………7分其通项公式为 ． ……………………………………………………8分（2）由（1）可得，， ……10分若对恒成立，只需对恒成立，因为对恒成立，所以,即的最小值为3；…………12分（3）若成等差数列，其中为正整数，则成等差数列，整理得，…………………………………………………………………14分当时，等式右边为大于2的奇数，等式左边是偶数或1，等式不能成立，所以满足条件的值为．……………………………………………16分20．已知函数．(Ⅰ)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；(Ⅲ)设为正实数，且，求证：．解: （Ⅰ）……2分………4分 ………6分……………8分…………12分T=3i－1S=0,i=1开始否i>5?第题图DCBAPCBAO-2-3结束输出S是i= i+1S=S+TT=3i－1S=0,i=1开始否i>5?S=S+Ti= i+1是输出S结束-3-2OABCPQABCD第题图江苏省如东县四校2014届高三上学期期末联考数学试题
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