常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅰ试题 2014年1月 参考公式： 样本数据，，… ，的方差，其中=．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．设集合，，则= ▲ ． 若（，i为虚数单位的值为 ▲ ． 已知双曲线的一条渐近线方程为，则a的值为 ▲ ． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）分别为115，125，132，的最小正周期为 ▲ ． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．已知实数，满足约束条件则的最大值为 ▲ ．若曲线：与曲线：在处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ． 给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．，等比数列中，，，若数列的前2014项的和为0，则的值为 ▲ ．已知函数f(x)＝若则k的 ▲ ．ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则 ▲ ．中，已知圆O：，点，M，N为圆O上不同的两点，且满足．若，则的最小值为 ▲ ．6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量，． （1）若，，求角A； （2）若，，求的值．16．（本小题满分14分）如图，在中，AB⊥BC，EF分别是，的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；⊥平面；（3）若，求三棱锥的体积．14分） 设等差数列，已知，． （1）求数列的通项公式；（），为互不相等的正整数，且等差数列满足，，求数列的前n项和．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆E:的右准线为直线l，动直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且． （1）求椭圆E的标准方程； （2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设打印店，生产并销售某种产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出元．假设该产品的月销售量（件）与销售价格（元/件）（）之间满足如下关系：①当时，；②当时，．设该店月利润为（元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求关于销售价格的函数关系式；（2）求该打印店月利润的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分） 已知函数，．（1）当时，求函数的极大值；（2）求函数的单调区间；（3）当时，设函数，若实数满足：且，，求证：．常州市教育学会学生学业水平监测 数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A、B、C、D 10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲 如图，等腰梯形ABCD内接于⊙，AB∥CD．过点A作⊙的切线交CD的延长线于点E． 求证：∠DAE=∠BAC. B．选修4—2：矩阵与变换 已知直线在矩阵，若直线过点（1,1），求实数a的值． C．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点，直线，求点P到直线l的距离．D．选修4—5：不等式选讲已知，，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P－ABC，AC⊥BC，A=BC=2a，点OD分别是APB的中点⊥AB，连结CD．（1）若，求异面直线PA与D所成角余弦值的大小；（2）二面角－P－的大小为23．（本小题满分10分） 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A 的子集． （1）若M=，直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； （2）若M=，求所有不同的有序集合对(A,B)的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1． 2． 3 4． 5．也对） 6． 7．8． 9．10．11．12． 13．4 14．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：，∴．由正弦定理，得．化简，得． ………………………………………………2分∵，∴或，从而（舍）或．∴． ………………………………4分在Rt△ABC中，，． …………………………………6分（2）∵，∴．由正弦定理，得，从而． ∵，∴． 从而． ……………8分 ∵，，∴，． ……………………10分 ∵，∴，从而，B为锐角，． ………12分 ∴=． …………………………………14分16．证明：．∵直三棱柱中，是矩形， ∴点F在上，且为的中点． 在△中，∵E，F分别是，的中点EF∥BC． ……………2分BC 平面ABC， EF平面ABC，所以EF∥平面ABC4分中，平面ABC，∴BC．∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF， EF． ………………………………6分，∴EF⊥平面． ………………………………8分平面A平面A． ………………………………10分 ………………………………12分． ………………………………14分17．解： 解得 …………………4分． ……………………………………………………………6分，为正整数， 由（1）得，． …………………8分，． ………………………………………10分是等差数列，，∴的公差． ………………12分，得．∴． …………………………………………14分18． 解A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则，，．∵，∴由O，M，Q三点共线，得，化简，得．………2分，∴，化简，得．由 解得 …………………………………………4分E的标准方程为． …………………………………………6分2）把，代入，得． ……………………………………………8分，时，，，从而点． ……………………………………………10分OM的方程．由 得． ……………………………………………12分，从而． ……………………………………………14分，得，从而，满足△． ……………15分为常数． ………………………………………………………………16分19．时，，代入，解得． ………………………………………………………………2分 即 ……………4分，，，则．令，解得（舍去），．……………7分时，，单调递增；当时，，单调递减． … ………………………………10分，，，∴的最大值为．………12分时，单调递减，故此时的最大值为． … ………………………………14分时，月利润有最大值元． ……………………15分元，此时产品的销售价格为元/件． ……16分20．的定义域为． （1）当时，，，令得． ………1分+0 ?极大值 ? 所以的极大值为． …………………………………………3分 ．令，得，记． （?）当时，，所以单调减区间为； …………5分时，由得， ①若，则，由，得，；由，得． 所以，的单调减区间为，，单调增区间为； …………………………………………………………7分，由（1）知单调增区间为，单调减区间为； ③若，则， 由，得；由，得． 的单调减区间为，单调增区间为． ……9分时，的单调减区间为； 当时，的单调减区间为，，单调增区间为； 当时，单调减区间为，单调增区间为． ………………………………………………………10分（）． 由得．∵， ∴(舍)，或． ∵，∴． …………………………………12分得， 因为，所以（*）式可化为，即． ………………………………………………14分，则，整理，得，从而，即． 记．，令得（舍），，列表：+ ??所以，在单调减，在单调增，又因为，所以，从而． ………………………………………………16分高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A、B、C、D 10分，共计20分．A．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD， ∴AD=BC． 从而．∴∠ACD=∠BAC. ……………………………………………………4分∵AE为圆的切线，∴∠EAD=∠ACD. …………………………………8分∴∠DAE=∠BAC. ……………………………………………………10分B．选修4—2：矩阵与变换解：设为直线上任意一点，在矩阵上点，则，化简，得 ……………………………………………4分代入，整理，得． ……………………………8分将点（1,1）代入上述方程，解得a=-1． ……………………………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：， …………………………………………………4分直线l的普通方程为， ………………………………………8分从而江苏省常州市2014届高三上学期期末考试数学试题（WORD版，有答案）
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