石室中学高2014届2013—2014学年度上期期中考试数学（理科）试题（时间120分钟满分150分）一、选择题每小题5分，共0分1.设全集，集合，则集合=（ ） A. 　　B. C. 　 D. 2.函数的最小正周期是（ ）A. B. C. 2π D. 4π 3.已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（ ）A． －　　 B. 　 C. 2　　 D. 14.已知数列是等差数列，且，则的值为（ ） A. 　　　　B. 　　　　 C. 　　　D. 5.若=，则的值为（ ）A. 121 B.124 C. 122 D.1206．如图程序运行后,输出的值是（ ） A．-4 B. 5 C. 9 D. 147.袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个红球，个白球和个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）A. B. C. D.8.已知向量满足，且，则在方向上的投影为A．3 B．. C． D．9. 已知函数若存在，当时，，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．10. 已知函数 则下列关于函数的零点个数的判断正确的是A. 当时，有3个零点；当时，有2个零点B当时，有4个零点；当时，有1个零点C无论为何值，均有2个零点D无论为何值，均有4个零点二、填空题：每题分，共分11.某工厂生产三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为，现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有件，那么此样本容量 ．中，为其前n项和，若，，则当取到最小值时n的值为_________.13.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 cm．14.已知正数满足则的取值范围是 15．若函数的定义域和值域均为,则的范围是________.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.17. （本小题满分12分）已知中，角的对边分别为，且有。 （1）求角的大小；（2）设向量，且，求的值。18．（本题满分1分）如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上（1）求证：平面平面（2）当，且，确定点的位置，即求出的值（3）在（2）的条件下若F是PD的靠近P的一个三等分点，求二面角A-EF-D的余弦值.[]19．（本小题满分12分）成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰。若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下： （I）求获得参赛资格的人数； （II）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩； （III）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望。20.（本题满分13分）已知函数， (Ⅰ)若求的值域； (Ⅱ)若存在实数，当恒成立，求实数的取值范围.21.（本题满分14分）已知函数（其中为常数）.(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；[](Ⅱ) 当时，设函数的3个极值点为，且.证明：.石室中学高2014届上期中期考试题数学参改答案一、选择题：题号答案CBBACAB/DBD/BB/C二、填空题：11. 72; 12. 7或8; 13. ； 14. (理) (文) 15. (理) (文) 三、解答题：16. 解：（Ⅰ）由题设知， …………………………………………2分由两式相减，得.所以. ……………………………………4分可见，数列是首项为2，公比为的等比数列。所以 …………………………………………6分（Ⅱ）， ……………………………………… 8分 . ……………………………………… 10分=. …………………………………………12分17. ………………6分(2)舍（不舍 扣2分） ………………12分18. （文科每问6分，理科三问分别3分、4分、5分）证明：（1）四边形ABCD是正方形ABCD(2)设AC交BD=O,AO=1在直角三角形ADB中，DB=PD=2，则PB=中斜边PB的高h=即E为PB的中点。(3)连接OE，以O为坐标原点，OC为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系。[]则A(1,0,0) E(0,0,1) F(0,-1,) D(0,-1,0)面EFD的法向量为设为面AEF的法向量。令y=1,则所以二面角A-EF-D的余弦值为19.解：(1) (0.005+0.0043+0.032)20500=0.25500=125 ……………2分 (2) (400.0065+600.0140+800.0170+1000.0050+1200.0043+1400.0032)20 =(0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448)20=78.48 ……………5分 (3) 设甲答对每一道题的概率为.P 则 的分布列为 3 4 5 =……………12分文科第三问：P=[]20. 解：（1）理：由题意得：当时，，∴此时的值域为：…………………………2分当时，，∴此时的值域为：………………………………4分当时，，∴此时的值域为：……………………6分文：的值域为：。（2）由恒成立得：恒成立，令，因为抛物线的开口向上，所以，由恒成立知：………………8分化简得： 令则原题可转化为：存在，使得 即：当，…10分∵，的对称轴： 即：时，∴解得： ②当 即：时，∴解得：综上：的取值范围为：……………………………………………………13分法二：也可，化简得：有解，则。21. 理科：解：(Ⅰ) 令可得.列表如下:--0+减减极小值增单调减区间为,;增区间为.------------5分(Ⅱ)由题，对于函数，有∴函数在上单调递减，在上单调递增∵函数有3个极值点，从而，所以，当时，，，∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，，此时，函数有3个极值点，且；∴当时，是函数的两个零点，————9分即有，消去有 令，有零点，且∴函数在上递减，在上递增要证明 即证构造函数，=0只需要证明单调递减即可.而， 在上单调递增, ∴当时，.————————１４分文科：解：(Ⅰ)函数的定义域为，．…………1分依题意，方程有两个不等的正根，（其中）．故，并且 ． 所以， 故的取值范围是． …………6分(Ⅱ)解:当时，．若设，则[]．于是有 构造函数（其中），则．所以在上单调递减，． 故的最大值是． …………14分 ( ).? （6题图）（第4题）4322正视图侧视图俯视图BEPDCA四川省成都石室中学2014届高三上学期期中考试 数学理
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