北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文史类） 2014.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．,集合,则=A. B. C. D. 2.为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有的点A. 向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动2个单位长度D. 向左平行移动个单位长度3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为 A. 6 B. 24 C. D.4.已知函数则是成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 若实数满足，则的最小值为 A. B. C. D. 6. 已知，且，则等于 A. B. C. D. 7. 若双曲线：与抛物线的准线交于两点，且，则的值是A. B. C. D. 8. 函数的图象为曲线，函数的图象为曲线，过轴上的动点于轴的直线交曲线，于则线段长度的最大值为 A． B． C． D．为等差数列，若，，则公差 ．10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 .11. 某校高学假期抽查100名同学时间绘频率分布直方图小时内的人数为_____．12.直线：被圆截得的弦的长是 . 13.在中， ，，则的最小值是条件的图形序号.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递增区间.16. （本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于90分的概率.17. （本题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面,，．设，分别为，中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面;（Ⅲ）试问在线段上是否存在点，使得过三点 ,,的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．18.（本题满分13分）已知函数，其中.（Ⅰ）若，求的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值.19.（本题满分14分）已知椭圆两焦点坐标分别为,，一个顶点为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为的直线，使直线与椭圆交于不同的两点，满足. 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.20. （本题满分13分）已知数列的通项，.(Ⅰ)求；（Ⅱ）判断数列的增减性,并说明理由；(Ⅲ) 设，求数列的最大项和最小项.北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案（文史类） 2014.1一、选择题：题号12345678答案ABCABDDD二、填空题：题号91011121314答案，2,（1）（2）（4）三、解答题：15.解：（Ⅰ）依题意. 则. ………….7分（Ⅱ）的最小正周期.当时，即时,为增函数.则函数的单调增区间为,. ………….13分 16 . 解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好. ……….6分 （Ⅱ）设事件：抽到的成绩中至少有一个高于90分. 从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：共25个.事件包含的基本事件有共9个.所以，即抽到的成绩中至少有一个高于90分的概率为. ……….13分17. 证明：（Ⅰ）因为点是中点，点为的中点， 所以∥．又因为面，面， 所以∥平面． ………….4分 （Ⅱ）因为平面面, 平面平面=,又平面，，所以面.所以． 又因为，且，所以面． ……….9分 （Ⅲ）当点是线段中点时，过点,,的平面内的任一条直线都与平面平行． 取中点，连，连.由（Ⅰ）可知∥平面． 因为点是中点，点为的中点， 所以∥．又因为平面，平面， 所以∥平面． 又因为， 所以平面∥平面， 所以平面内的任一条直线都与平面平行． 故当点是线段中点时，过点,,所在平面内的任一条直线都与平面平行． ……….14分 18. 解：（Ⅰ）已知函数，所以，，又，所以.又，所以曲线在点处的切线方程为. ………….…..…5分（Ⅱ），令，则.（1）当时，在上恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以；（2）当时，在区间上，，在区间上，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且是上唯一极值点，所以；（3）当时，在区间上，（仅有当时），所以 在区间上单调递减所以函数.综上所述，当时，函数的最小值为，时，函数的最小值为 ………………13分19.解：（Ⅰ）设椭圆方程为.则依题意，，所以于是椭圆的方程为 ……….4分（Ⅱ）存在这样的直线. 依题意，直线的斜率存在设直线的方程为，则由得因为得……………… ①设，线段中点为，则于是因为，所以.若，则直线过原点，，不合题意.若，由得，，整理得………………②由①②知，， 所以又，所以. ……….14分20．（Ⅰ）,. ……….2分（Ⅱ） .则当时，，则时，数列为递增数列，;当时，，数列为递减数列，. ……….7分(Ⅲ)由上问可得，，.令，即求数列的最大项和最小项.则.则数列在时递减，此时，即；数列在 时递减，此时，即.因此数列的最大项为，最小项为. ……….….13分8开始k=1i=2k=k×ii=i+1是i>5?输出k否结束俯视图181侧视图 正视图15乙甲6289657CPABEDCPABED5852750.140.1512106248小时0.120.050.04频率/组距F北京市朝阳区2014届高三上学期期末统一考试文科数学含答案
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