2014届上海市高三年级检测试卷（3月） 数学（理）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．，若为纯虚数，则实数 2.函数的反函数为 3.设函数，则函数的零点是 4.圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为 5.双曲线的渐近线与圆相切，则r = 6.若展开式中各项二项式系数之和为，展开式中各项系数之和为，则 7.设，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是8.以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是 9.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 10.在中，角所对的边分别是，若，，则的面积等于 已知函数f(x)=，定义域是，值域是，则满足条件的整数对有 　 对12.已知函数，且，则 13.如图都是由边长为1的正方体叠成的图形例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第个图形的表面积是__________个平方单位．设函数是定义域为R，周期为2的周期函数，且当时，；已知函数 则函数和的图象在区间内公共点的个数为 20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．设函数，集合，则右图中阴影部分表示的集合为 B． C． D．16.若为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是 A. B. C. D.17.把函数图象上各点的横坐标缩原来的，再将图象向平移个单位，那么所得图象的为A． B． C． D．三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视为变量，为常量来分析”. 乙说：“寻找与的关系，再作分析”. 丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．第1）小题满分分，第2）小题满分分半径为1的球面上有A,B,C三点，其中A和B的球面距离，A和C的球面距离都是，B和C的球面距离是（1）求球心O到平面ABC的距离）求二面角B—AC—O的大小(本题满分1分第1）小题满分分，第2）小题满分分已知的面积为，且满足，设和的夹角为．（）求的取值范围；（）求函数的最大值及取得最大值时的值．（本题满分1分我们用和分别表示实数中的最小者和最大者．（1）设，，，函数的值域为，函数的值域为，求；（2）数学课上老师提出了下面的问题：设，，…，为实数，，求函数（）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数和的最值． 学生甲得出的结论是：，且无最大值． 学生乙得出的结论是：，且无最小值．请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；（本题满分1分如图是椭圆的左焦点，为椭圆的长轴，依次交于点，已知(1) 求椭圆的标准方程(2) 求证：对于任意的割线，恒有(3) 求三角形△ABF面积的最大值．23.（本题满分1分已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 2. 3. 4. 5.6. 7.8 8. 9. 10.11.7 12. 13. 14.15二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．16. A 17.A 18. C三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．第1）小题满分分，第2）小题满分分（1）由题意知：∠AOC=,∠AOB=,∠BOC=，∴AO⊥面BOC∵OA=OB=OC=1, ∴AB=AC=，BC=1. ∵又（为O到平面ABC的距离）∵ ∴ ∴球心O到平面ABC的距离）过B作BE⊥OC，∵△BOC为等边三角形，∴则垂足为OC的中点。∵AO⊥面BOC 且面BOC,∴AO⊥BE,又，BE⊥OC，OAOC=O ∴BE⊥面AOC∴△ABC在面AOC内的投影为△AEC∵（其中为二面角B—AC—O的大小）， ∴∴二面角B—AC—O的大小：(本题满分1分第1）小题满分分，第2）小题满分分（）设中角的对边分别为，则由，，可得， ． （）．，，当时， 有．（本题满分1分，，∴ （2）若选择学生甲的结论，则说明如下， ，于是在区间上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数． 所以函数的最小值是，且函数没有最大值． 若选择学生乙的结论，则说明如下， ，于是在区间上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数． 所以函数的最大值是，且函数没有最小值．22.（本题满分1分(1) ∵，∴，又∵∴，∴椭圆的标准方程为． (2) 当的斜率为0时，显然，满足题意， 当的斜率不为0时，设方程为，代入椭圆方程整理得：．，，．则 ，而∴，从而． 综上可知：对于任意的割线，恒有． (3) ，即：，当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．∴△ABF面积的最大值是． （本题满分1分（1）当时，；当时，， 所以；综上所述，． （2）当时，若存在p，r使成等差数列，则，因为，所以，与数列为正数相矛盾，因此，当时不存在； 当时，设，则，所以， 令，得，此时，， 所以，，所以；综上所述，当时，不存在p，r；当时，存在满足题设.（3）作如下构造：，其中，它们依次为数列中的第项，第项，第项， ……12分显然它们成等比数列，且，，所以它们能组成三角形．由的任意性，这样的三角形有无穷多个． 下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似：若三角形和相似，且，则，整理得，所以，这与条件相矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源BOAABC上海市2014届高三3月检测数学（理）试题
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