浙江省杭州外国语学校届高三3月月考数学（理科）试卷注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2．整场考试不准使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集,集合,,则（　　）A．B．C．D．函数的图像为 ( )是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）A．B．C．D．4. 阅读如图所示的程序框图,若输入,则输出的值是 B．C．D．. 已知命题；命题 则下列命题中真命题是（ ） A． B． C． D．6．设不等式组表示的平面区域为D．若圆C:不经过区域D上的点,则的取值范围是A． B．C． D．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 B． C．D．为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（　　）A． B． C．D． B．C． D． 10.已知函数=,把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（　　）A． B． C．D．二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．11．设，在二项式的展开式中，含的项的系数与含的项的系数相等，则的值为 ．12.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为，，满足，，，，则的最小值为 ．16.已知，过点作一直线与曲线相交且仅有一个点倾斜角恰等于此双曲线渐近线的倾斜角；，过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为__________17.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①； ②；③； ④.其中是“垂直对点集”的序号是 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （本题满分14分）已知函数 在区间上单调递增,在区间上单调递减;如图,四边形中,,,为的内角的对边,且满足.(1)证明:)若,,,,求四边形面积的最大值.（本题满分14分）某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%(1)设第年该生产线的维护费用为,求的表达式;(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? （本题满分14分）在如图所示的几何体中,是边长为2的正三角形,平面,平面平面, ,且(1)若,求证:平面(2)若二面角为60°,求的长.21. (本题满分15分)已知椭圆C:,⊙, 点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点, 上的点，点P是上的动点.(1)若,PA是的切线,求椭圆C的方程;(2)是否存在这样的椭圆C,使得恒为常数?如果存在,求出这个数及C的离心率e;如果不存在,说明理由.(本题满分15分) 设．（1）若，求最大值;（2）已知正数，满足．求证：；（3）已知，正数满足．证明: ． 14、120 15、 16、或 17、②④18、【答案】解:(Ⅰ)由题意知:,解得:, (Ⅱ)因为,所以,所以为等边三角形 , ,, 当且仅当即时取最大值,的最大值为 （2）第10年年初20、【答案】解: (Ⅰ)分别取 的中点,连接, 则∥,∥,且因为,,为的中点,所以,又因为平面⊥平面,所以平面 又平面,所以∥ 所以∥,且,因此四边形为平行四边形,所以∥,所以∥,又平面,平面,所以∥平面 (或者建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,计算即证) (Ⅱ)解法一:过作的延长线于,连接.因为,,所以平面,平面则有.所以平面,平面,所以.所以为二面角的平面角,即 在中,,则 ,.在中,.设,则,所以,又在中,,即=解得,所以 解法二: 由(Ⅰ)知平面,,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,, ,. 设平面的法向量则 所以令, 所以又平面的法向量所以解得, 即 （2）（）时，，当时，.即在上递增，在递减.故时，有.(3分)，则易证在在上递增，在上递减. 时，有.,即，即证 （8分）当时，命题显然成立；假设当时，命题成立，即当时，.则当，即当时，，又假设知，即=.这说明当时，命题也成立.综上①②知，当，正数满足时 （14分）（以上答案仅供参考，其他解法请作情给分.）EBDCBADCAMNPMBEDCANBEDCAMxyz浙江省杭州外国语学校届高三3月月考 数学理试题
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