马鞍山二中届高三年级第一学期期中考试试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A{0，m2}，B={1，2}，则“m=1”是“A∪B={0，1，2}”的（　　）　A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件2．已知点，则与同方向的单位向量是（ ）A． B． C． D． ．在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（ ）A． B． C． D． ．的定义域为，则的定义域为（ ）A． B． C． D． ．实数的值为（　　）　 A．2B．5C．10D．20的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（ ）A． B． C． D． ．设复数满足复数?A． B. C． D.8．，，则与夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D． ．和方程的根分别为和，函数，则（ ）A． B． C． D． 10．已知函数，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）A．（?∞，1]B．（0，1）C．[0，+∞）D．（?∞，1）第Ⅱ卷11．已知f（x）=2x3+ax2+b?1是奇函数，则a?b=　　．13．函数y＝tan的部分图象如图所示，则(O－)?＝14．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是___________．和向量,都有,则称M为“点射域”.现有下列平面向量的集合:①；②；③；④；上述为“点射域”的集合的有 （写正确的标号）三、解答题（本大题共6道小题，共75分，请将解题过程写在答题纸相应的位置，写错位置不得分）16．（本小题满分12分）设命题； 命题 是方程的两个实根 ，且不等式 ≥对任意的实数恒成立，若pq为真，试求实数m的取值范围.17．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？．已知A，B，C的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cosα，sinα)，α.(1)若＝，求角α的值；(2)若?＝－1，求的值．省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝＋2a＋，x[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a ，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t＝，x[0,24]，求t的取值范围．(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？已知函数(a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值，①对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围；②若函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围.21.（本小题满分13分）已知函数(1) 当时, 求函数的单调增区间；(2) 求函数在区间上的最小值；(3) 在(Ⅰ)的条件下，设,证明：.参考数据：.马鞍山二中届高三年级第一学期期中考试试题数学（理科）解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A{0，m2}，B={1，2}，则“m=1”是“A∪B={0，1，2}”的（　　）　A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件2．已知点，则与同方向的单位向量是（ ）A． B． C． D． ．在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（ ）A． B． C． D． ．的定义域为，则的定义域为（ ）A． B． C． D． ．实数的值为（　　）　 A．2B．5C．10D．20的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（ ）A． B． C． D． ．设复数满足复数?A． B. C． D.8．，，则与夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D． ．和方程的根分别为和，函数，则（ ）A． B． C． D． 10．已知函数，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）　A．（?∞，1]B．（0，1）C．[0，+∞）D．（?∞，1）解：函数的图象如图所示，当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根故选：D第Ⅱ卷11．已知f（x）=2x3+ax2+b?1是奇函数，则a?b=　?1　．解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，得b?1=0，解得b=1．∴f（x）=2x3+ax2．又∵f（?x）+f（x）=0，∴?2x3+ax2+2x3+ax2=0，化为ax2=0，对于任意实数R都成立．∴a=0．∴a?b=?1．故答案为?1．解析：因为a－2b与3a＋kb共线，所以存在实数λ使得a－2b＝λ(3a＋kb)，整理得(3λ－1)a＋(kλ＋2)b＝0，又因为向量a、b不共线，所以，∴. 答案：－613．函数y＝tan的部分图象如图所示，则(O－)?＝解析：由题意知A(2,0)，B(3,1)，所以(－)?＝(1,1)?(3,1)＝4．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是_______________．解析：根据已知条件得2b＝(2m，m＋2sinα)，又a＝2b，所以λ＋2＝2m，λ2－cos2α＝m＋2sinα，于是2λ2－2cos2α＝λ＋2＋4sinα，即2λ2－λ＝－2sin2α＋4sinα＋4＝－2(sinα－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即，解得－≤λ≤2，故＝＝2－[－6,1]．答案：[－6,1]和向量,都有,则称M为“点射域”.现有下列平面向量的集合:①；②；③；④；上述为“点射域”的集合的有 ② （写正确的标号）三、解答题（本大题共6道小题，共75分，请将解题过程写在答题纸相应的位置，写错位置不得分）16．（本小题满分12分）设命题； 命题 是方程的两个实根 ，且不等式 ≥对任意的实数恒成立，若pq为真，试求实数m的取值范围.解：解：对命题又故 对命题对有 ∴若为真，则假真∴17．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5(3＋)(海里)，DBA＝90°－60°＝30°，DAB＝90°－45°＝45°，ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在DAB中，由正弦定理得＝，DB＝＝＝＝＝10(海里)．又DBC＝DBA＋ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD?BC?cosDBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．即该救援船到达D点需要1小时.．已知A，B，C的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cosα，sinα)，α.(1)若＝，求角α的值；(2)若?＝－1，求的值．解：(1)＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由＝，可得＝，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又α∈，α＝.(2)由?＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，sinα＋cosα＝.又＝＝2sinαcosα.由式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝，2sinαcosα＝－.＝－.省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝＋2a＋，x[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a ，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t＝，x[0,24]，求t的取值范围．(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？解(1)当x＝0时，t＝0；当0＜x≤24时，x＋≥2(当x＝1时取等号)， ∴t＝＝， 即t的取值范围是 .(2)当a 时，记g(t)＝t－a＋2a＋，则g(t)＝g(t)在[0，a]上单调递减，在上单调递增，且g(0)＝3a＋，g＝a＋，g(0)－g＝2.故M(a)＝＝当且仅当a≤时，M(a)≤2.故当0≤a≤时不超标，当＜a≤时超标．(a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值，①对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围；②若函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围.（1）证明：，所以，函数在内至少有一个零点（2）由已知得：所以a=2，所以f（x）=2sinx?x+b①不等式可化为：sinx?cosx?x＞?b记函数g（x）=sinx?cosx?x，在恒成立函数在上是增函数，最小值为g（0）=?1所以b＞1， 所以b的取值范围是（1，+∞）②由得：，所以m＞0令f′（x）=2cosx?1＞0，可得∵函数f（x）在区间）上是单调增函数，∴∴6k≤m≤3k+1∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1∴k=0 ∴0＜m≤1(1) 当时, 求函数的单调增区间；(2) 求函数在区间上的最小值；(3) 在(Ⅰ)的条件下，设,证明：.参考数据：.解.(Ⅰ)当时，，或。函数的单调增区间为(Ⅱ) ，当，单调增。当，单调减. 单调增。当，单调减， 安徽省马鞍山二中届高三上学期期中考试 数学理
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