宜春市第一学期期末统考高三年级数学(理科)试卷命题人: 张美荣(奉新一中) 李希亮 审题人: 李希亮 吴连进(高安中学)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，集合，则=A． B． C．D．2、若是纯虚数（其中是虚数单位），且，则的值是（ ） Ａ． B． Ｃ． D．或 3、设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（　　）Ａ．4 B．11 Ｃ．12 D．144、黑白两种颜色的正六边形地面砖如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中，白色地面砖的块数是（ ）A．8042 B．8048 C．8050D．80465、在下图的程序框图中，已知，则输出的结果是（ ）A． B． C． D． 6、已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D．7、是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 8、昌铜高速于10月28日全线通车，它缩短了南昌、奉新、靖安、宜丰和铜鼓之间的时空距离，极大的提高了宜春市公路网的等级结构．昌铜高速全长约180km，假设某汽车从铜鼓进入高速公路后,以不低于60km/小时且不高于120km/小时的速度匀速行驶到南昌，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由固定部分和可变部分组成，固定部分为200元，可变部分与速度的平方成正比，当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元，若使汽车的全程运输成本最低，其速度为( )km / 小时 A．80 B．90 C．100 D．1109、将3个黑球和3个白球自左向右随机排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数，数到最末一个球，黑球的个数大于等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为（ ）A． B．C．D．10、已知函数 （为正整数），若存在正整数满足：，那么我们称为“好整数”．当时，则所有符合条件的“好整数”之和为． （ ） A． B．C．D．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、一个棱锥的三视图如图（长度单位为m），则该棱锥的表面积是____________m2． 12、已知椭圆的离心率是方程的根，则= 13、在三角形中，，为边的中点，则中线的长为 14、函数在定义域R内可导，若，当∈时，，设A＝，B＝，C＝，则A、B、C的大小关系为 （用“”连结）15、设，对的任意非空子集，定义为中的最小元素，当取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则：___________.三、解答题本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题12分）已知角为的三个内角，其对边分别为，若，，，且． （1）若的面积，求的值； （2）求的取值范围．17、（本小题12 分）某地区试行高考考试改革，在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加剩余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率； （2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望． 18、（本小题12 分）如图，在三棱柱中，已知，侧面（1）求直线与底面所成角的正弦值；（2）若为的中点， ，求平面与平面的夹角的大小．19、（本小题12分）已知数列中，，，其前项和满足(，)（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．20、（本小题13分）已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：；（3） 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图 形的面积；若不存在，试说明理由．21、（本小题14 分）设函数的图象在点处切线的斜率分别为．（1）求证：；（2）若函数的递增区间为，求的取值范围； （3）若时（是与无关的常数），对任意的、恒成立，求的最小值．第一学期期末统考高三年级数学(理科)参考答案一、选择题（每题5分，满分50分）题号答案B ABCACDCBA二、填空题（每题5分，满分25分）11． 12．3或 13． 14． 15． 三、解答题（本题满分75分，要求写出必要的步骤和过程）16．（本小题满分12分）解：（1），，且.，即，又，……3分又由，由余弦定理得：，故 …………6分 （2）由正弦定理得：，又， …………9分∵，则.则，即的取值范围是 …………12分17．（本小题满分12分）解：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，则…………2分该生考上大学的概率为…………4分（2）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5， …………5分…………9分故的分布列为：2345P…………12分18．（本小题满分12分）解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则， ， ……1分(1)直三棱柱中，平面的法向量，又，设，则 （）∵，则，设平面的法向量， 则，取，∵，∴，又，∴平面的法向量，∴，∴二面角为45°. 解：∵平面∴ ∵∴平面∴就是直线与平面中 ∴ …………6分(2)连结得, 又∵ ∴ 又∵∴求与平面的夹角就是异面直线与所成的角………9分∵‖ ∴ 在等腰直角三角形中∴平面与平面的夹角为 …………12分19．（本小题满分12分）解：）由已知，，），…………2分∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴ ……………4分（2）∵，∴要使恒成立，恒成立，∴恒成立恒成立．当为奇数时，即恒成立，时，有最小值为1∴ ……………8分（?）当为偶数时，即恒成立，时，有最大值，∴即，又为整数，．综上所述，存在，使得对任意，都有．的方程为 ，.，∴解得 .所以椭圆的方程为：. ………3分 （2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直线的方程为 ， 消去并整理得 ，∴ . ∵抛物线的方为，，∴过抛物线上、两点的切线方程分别是， ， 、的交点的坐标为，，∴. ………8分 （3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为， ………9分设过点且与抛物线相切的切线方程为：，为切点. 令得，， 解得或 ， 故不妨取，过点. 综上所述，椭圆上存在一点，作抛物线的两条切线、 （为切点），过点. 此时，两切线的方程分别为和. ………11分 抛物线与切线、所围成图形的面积为 . ………13分21．（本小题满分14分）证明：（1） ∵，由题意及导数的几何意义得， ① ②又a
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