石景山区—学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，那么（ ）A．B．C．D．2．复数（ ）A．B．C．D．3．已知向量，，则“”是“∥”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（ ）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（　　）A．B．C．D． 6． 在边长为的正方形中任取一点，则点恰好落在正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为（ ）A．B．C．D．7．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A．B． C．D．8．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．的参数方程为为参数，则圆的直角坐标方程为_______________，圆心到直线的距离为______． 1．中，角的对边分别为，若，，，则______．11．，满足约束条件则 ．12．中，，是上一点，以为圆心，为半径的圆与交于点，与切于点，，，则的长为 ，的长为 ． 13．的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则______． 14． 是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线与所成的角的度数为 ，当三棱锥的体积取得最大值时， 四棱锥的长为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．13分）北京市各级各类中小学每年都要测试，测试总成绩满分为分测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格． 现从某校高年级的名学生中随机抽取名学生体质测试成绩如下：1356801122333445667797056679645856（Ⅰ）试估计该校高年级体质为优秀的学生人数；名学生体质测试成绩名学生，再从这名学生中选出人．名学生中至少有名体质为优秀的概率；（?）记为名学生中体质为良好的人数，求的分布列及数学期望． 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点（不与两点重合），使得∥平面?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中.（Ⅰ）若项数列满足，，则数列中有多少项取值为零？()（Ⅱ）若各项非零数列和新数列满足（）．（?）若首项，末项，求证数列是等差数列；（?）若首项，末项，记数列的前项和为，求的最大值和最小值．石景山区—学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案DCAACBBD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 题号91011121314答案，，，(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解：（Ⅰ） …………2分 ， ……………4分 ，， ，， ……………6分所以函数的单调递增区间为．，， ……………9分， ， ……………11分 所以当，即时，函数取得最小值．13分）解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 ．，从体质为优秀的学生中抽取的人数为． ……………6分（?）设“在选出的名学生中至少有名体质为优秀”为事件，则 ．名学生中至少有名体质为优秀的概率为．的所有取值为．， ，．的分布列为: ．因为平面，平面，所以. ……………1分取因为底面为直角梯形，∥，，且，所以四边形为正方形，所以，且，所以，即. ……………3分又， 所以平面. ……………4分（Ⅱ）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． ……………5分则，，，，所以，，．因为平面，所以为平面的一个法向量． ……………6分 设平面的法向量为， 由，得 令，则，， 所以是平面的一个法向量． ……………8分 所以 因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． ……………9分（Ⅲ）解：假设在线段上存在点（不与两点重合），使得∥平面． 设，则，． 设平面的法向量为，由，得令，则，，所以是平面的一个法向量．因为∥平面，所以，即， ……………13分解得，所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得∥平面，且．8.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当时，，， ，得， ……………2分所以曲线在点处的切线方程为. ……………3分（Ⅱ）.当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间； ……………5分当时，时，，时，，此时的单调递增区间为，单调递减区间为.……………7分（Ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值. ……………8分因为，所以在上有解，即使成立， ……………9分即使成立， …………10分所以.令，，所以在上单调递减，在上单调递增，则， ……………12分 所以. ……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以， 所以， ……………1分 因为椭圆的离心率为， 所以，即 ， ……………2分 解得， ……………4分 所以椭圆的方程为. ……………5分 （Ⅱ）设，， ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由得， ……………7分所以， ……………8分因为，即为中点，所以，即. 所以， ……………9分 因为直线， 所以，所以直线的方程为，即 ，显然直线恒过定点. ……………11分②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过点. ……………13分综上所述直线恒过定点. ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列中项为分别有项．由题意知解得．所以数列中有项取值为零． ……………3分（Ⅱ）（?）且，得到，若，则满足．此时，数列是等差数列；若中有个，则不满足题意；所以数列是等差数列． ……………7分（?）因为数列满足，所以，根据题意有末项，所以．而，于是为正奇数，且中有个和个．要求的最大值，则只需前项取，后项取，所以 （为正奇数）．要求的最小值，则只需前项取，后项取，则 （为正奇数）． …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 12 每天发布最有价值的是输入输出开始结束否．（试题全）北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题（WORD版，含答案）
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