江苏省泰州市姜堰区2015年七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分，每题有且只有一个答案正确.）
1．下列运算正确的是（ ）
A． 3?2=6 B． m3•m5=m15 C． （x?2）2=x2?4 D． y3+y3=2y3
2．在? 、 、π、3.212212221…这四个数中，无理数的个数为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
3．现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm．若要订一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ）
A． 10cm B． 30cm C． 50cm D． 70cm
4．下列语句中正确的是（ ）
A． ?9的平方根是?3 B． 9的平方根是3
C． 9的算术平方根是±3 D． 9的算术平方根是3
5．某商品进价10元，标价15元，为了促销，现决定打折销售，但每件利润不少于2元，则最多打几折销售（ ）
A． 6折 B． 7折 C． 8折 D． 9折
6．如图，AB∥CD，∠CED=90°，EF⊥CD，F为垂足，则图中与∠EDF互余的角有（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．?8的立方根是 ．
8．x2•（x2）2= ．
9．若am=4，an=5，那么am?2n= ．
10．请将数字0.000 012用科学记数法表示为 ．
11．如果a+b=5，a?b=3，那么a2?b2= ．
12．若关于x、y的方程2x?y+3k=0的解是 ，则k= ．
13．n边形的内角和比它的外角和至少大120°，n的最小值是 ．
14．若a，b为相邻整数，且a＜ ＜b，则b?a= ．
15．小亮将两张长方形纸片如图所示摆放，使小长方形纸片的一个顶点正好落在大长方形纸片的边上，测得∠1=35°，则∠2= °．
16．若不等式组 有解，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小条，102分）
17．计算：
（1）x3÷（x2）3÷x5
（x+1）（x?3）+x
（3）（? ）0+（ ）?2+（0.2）2015×52015?|?1|
18．因式分解：
（1）x2?9
b3?4b2+4b．
19．解方程组：
① ；
② ．
20．解不等式组： ，并在数轴上表示出不等式组的解集．
21．（1）解不等式：5（x?2）+8＜6（x?1）+7；
若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x?ax=3的解，求a的值．
22．如图，△ABC的顶点都在每个边长为1个单位长度的方格纸的格点上，将△ABC向右平移3格，再向上平移2格．
（1）请在图中画出平移后的′B′C′；
△ABC的面积为 ；
（3）若AB的长约为5.4，求出AB边上的高（结果保留整数）
23．如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠ADE．
24．若不等式组 的解集是?1＜x＜3，
（1）求代数式（a+1）（b?1）的值；
若a，b，c为某三角形的三边长，试求|c?a?b|+|c?3|的值．
25．如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC、CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1=∠2．
题设（已知）： ．
结论（求证）： ．
证明： ．
26．某商场用18万元购进A、B两种商品，其进价和售价如下表：
A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1380 1200
（1）若销售完后共获利3万元，该商场购进A、B两种商品各多少件；
若购进B种商品的件数不少于A种商品的件数的6倍，且每种商品都必须购进．
①问共有几种进货方案？
②要保证利润最高，你选择哪种进货方案？
江苏省泰州市姜堰区2015年七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分，每题有且只有一个答案正确.）
1．下列运算正确的是（ ）
A． 3?2=6 B． m3•m5=m15 C． （x?2）2=x2?4 D． y3+y3=2y3
考点： 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂．
分析： 根据负整数指数幂，同底数幂的乘法，完全平分公式，合并同类项，即可解答．
解答： 解：A、 ，故错误；
B、m3•m5=m8，故错误；
C、（x?2）2=x2?4x+4，故错误；
D、正确；
故选：D．
点评： 本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法，完全平分公式，合并同类项，解决本题的关键是熟记相关法则．
2．在? 、 、π、3.212212221…这四个数中，无理数的个数为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 无理数．
分析： 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解答： 解：? 是分数，是有理数；
和π，3.212212221…是无理数；
故选C．
点评： 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm．若要订一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ）
A． 10cm B． 30cm C． 50cm D． 70cm
考点： 三角形三边关系．
分析： 首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步找到符合条件的答案．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得
第三根木棒的长度应大于10cm，而小于50cm．
故选B
点评： 本题考查了三角形中三边的关系求解；关键是求得第三边的取值范围．
4．下列语句中正确的是（ ）
A． ?9的平方根是?3 B． 9的平方根是3
C． 9的算术平方根是±3 D． 9的算术平方根是3
考点： 算术平方根；平方根．
分析： A、B、C、D分别根据平方根和算术平方根的定义即可判定．
解答： 解：A、?9没有平方根，故A选项错误；
B、9的平方根是±3，故B选项错误；
C、9的算术平方根是3，故C选项错误．
D、9的算术平方根是3，故D选项正确．
故选：D．
点评： 本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根．若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．
5．某商品进价10元，标价15元，为了促销，现决定打折销售，但每件利润不少于2元，则最多打几折销售（ ）
A． 6折 B． 7折 C． 8折 D． 9折
考点： 一元一次不等式的应用．
分析： 利用每件利润不少于2元，相应的关系式为：利润?进价≥2，把相关数值代入即可求解．
解答： 解：设打x折销售，每件利润不少于2元，根据题意可得：
15× ?10≥2，
解得：x≥8，
答：最多打8折销售．
故选：C．
点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，本题的关键是得到利润的关系式，注意“不少于”用数学符号表示为“≥”．
6．如图，AB∥CD，∠CED=90°，EF⊥CD，F为垂足，则图中与∠EDF互余的角有（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
考点： 平行线的性质；余角和补角．
分析： 先根据∠CED=90°，EF⊥CD可得出∠EDF+∠DEF=90°，∠EDF+∠DCE=90°，再由平行线的性质可知∠DCE=∠AEC，故∠AEC+∠EDF=90°，由此可得出结论．
解答： 解：∵∠CED=90°，EF⊥CD，
∴∠EDF+∠DEF=90°，∠EDF+∠DCE=90°．
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠AEC，
∴∠AEC+∠EDF=90°．
故选B．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．?8的立方根是 ?2 ．
考点： 立方根．
分析： 利用立方根的定义即可求解．
解答： 解：∵（?2）3=?8，
∴?8的立方根是?2．
故答案为：?2．
点评： 本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．
8．x2•（x2）2= x6 ．
考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析： 根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，即可解答．
解答： 解：x2•（x2）2=x2•x4=x6．
故答案为：x6．
点评： 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
9．若am=4，an=5，那么am?2n= ．
考点： 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，即可解答．
解答： 解：am?2n= ，
故答案为： ．
点评： 本题考查同底数幂的除法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
10．请将数字0.000 012用科学记数法表示为 1.2×10?5 ．
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10?n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答： 解：0.000 012=1.2×10?5．
故答案为：1.2×10?5．
点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10?n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．如果a+b=5，a?b=3，那么a2?b2= 15 ．
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 首先利用平方差公式进行分解即可，进而将已知代入求出即可．
解答： 解：∵a2?b2=（a+b）（a?b），
∴当a+b=5，a?b=3时，原式=5×3=15．
故答案为：15．
点评： 此题主要考查了运用公式法分解因式以及代数式求值，正确分解因式是解题关键．
12．若关于x、y的方程2x?y+3k=0的解是 ，则k= ?1 ．
考点： 二元一次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 把已知x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
解答： 解：把 代入方程得：4?1+3k=0，
解得：k=?1，
故答案为：?1．
点评： 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
13．n边形的内角和比它的外角和至少大120°，n的最小值是 5 ．
考点： 多边形内角与外角．
分析： n边形的内角和是（n?2）•180°，n边形的外角和是360度，内角和比它的外角和至少大120°，就可以得到一个不等式：（n?2）•180?360＞120，就可以求出n的范围，从而求出n的最小值．
解答： 解：（n?2）•180?360＞120，解得：n＞4 ．
因而n的最小值是5．
点评： 本题已知一个不等关系，就可以利用不等式来解决．
14．若a，b为相邻整数，且a＜ ＜b，则b?a= ．
考点： 估算无理数的大小．
分析： 估算 的范围，即可确定a，b的值，即可解答．
解答： 解：∵ ，且＜ ＜b，
∴a=2，b=3，
∴b?a= ，
故答案为： ．
点评： 本题考查了估算无理数的方法：找到与这个数相邻的两个完全平方数，这样就能确定这个无理数的大小范围．
15．小亮将两张长方形纸片如图所示摆放，使小长方形纸片的一个顶点正好落在大长方形纸片的边上，测得∠1=35°，则∠2= 55 °．
考点： 平行线的性质．
分析： 过点E作EF∥AB，由AB∥CD可得AB∥CD∥EF，故可得出∠4的度数，进而得出∠3的度数，由此可得出结论．
解答： 解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF．
∵∠1=35°，
∴∠4=∠1=35°，
∴∠3=90°?35°=55°．
∵AB∥EF，
∴∠2=∠3=55°．
故答案为：55．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
16．若不等式组 有解，则a的取值范围是 a＞1 ．
考点： 不等式的解集．
分析： 根据题意，利用不等式组取解集的方法即可得到a的范围．
解答： 解：∵不等式组 有解，
∴a＞1，
故答案为：a＞1．
点评： 此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
三、解答题（本大题共10小条，102分）
17．计算：
（1）x3÷（x2）3÷x5
（x+1）（x?3）+x
（3）（? ）0+（ ）?2+（0.2）2015×52015?|?1|
考点： 整式的混合运算．
分析： （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的除法；
先利用整式的乘法计算，再进一步合并即可；
（3）先算0指数幂，负指数幂，积的乘方和绝对值，再算加减．
解答： 解：（1）原式=x3÷x6÷x5
=x?4；
原式=x2?2x?3+2x?x2
=?3；
（3）原式=1+4+1?1
=5．
点评： 此题考查整式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
18．因式分解：
（1）x2?9
b3?4b2+4b．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 计算题．
分析： （1）原式利用平方差公式分解即可；
原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
解答： 解：（1）原式=（x+3）（x?3）；
原式=b（b2?4b+4）=b（b?2）2．
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．解方程组：
① ；
② ．
考点： 解二元一次方程组．
分析： 本题可以运用消元法，先消去一个未知量，变成一元一次方程，求出解，再将解代入原方程，解出另一个，即可得到方程组的解．
解答： 解：（1）
①×2，得：6x?4y=12 ③，
②×3，得：6x+9y=51 ④，
则④?③得：13y=39，
解得：y=3，
将y=3代入①，得：3x?2×3=6，
解得：x=4．
故原方程组的解为： ．
方程②两边同时乘以12得：3（x?3）?4（y?3）=1，
化简，得：3x?4y=?2 ③，
①+③，得：4x=12，
解得：x=3．
将x=3代入①，得：3+4y=14，
解得：y= ．
故原方程组的解为： ．
点评： 本题考查了二元一次方程组的解法，利用消元进行求解．题目比较简单，但需要认真细心．
20．解不等式组： ，并在数轴上表示出不等式组的解集．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 分别解两个不等式得到x＜4和x≥3，则可根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后利用数轴表示解集．
解答： 解： ，
解①得x＜4，
解②得x≥3，
所以不等式组的解集为3≤x＜4，
用数轴表示为：
点评： 本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．（1）解不等式：5（x?2）+8＜6（x?1）+7；
若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x?ax=3的解，求a的值．
考点： 解一元一次不等式；一元一次方程的解；一元一次不等式的整数解．
分析： （1）根据不等式的基本性质先去括号，然后通过移项、合并同类项即可求得原不等式的解集；
根据（1）中的x的取值范围来确定x的最小整数解；然后将x的值代入已知方程列出关于系数a的一元一次方程2×（?2）?a×（?2）=3，通过解该方程即可求得a的值．
解答： 解：（1）5（x?2）+8＜6（x?1）+7
5x?10+8＜6x?6+7
5x?2＜6x+1
?x＜3
x＞?3．
由（1）得，最小整数解为x=?2，
∴2×（?2）?a×（?2）=3
∴a= ．
点评： 本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解．解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
22．如图，△ABC的顶点都在每个边长为1个单位长度的方格纸的格点上，将△ABC向右平移3格，再向上平移2格．
（1）请在图中画出平移后的′B′C′；
△ABC的面积为 3 ；
（3）若AB的长约为5.4，求出AB边上的高（结果保留整数）
考点： 作图-平移变换．
分析： （1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；
根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）设AB边上的高为h，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解答： 解：（1）如图所示；
S△ABC= ×3×2=3．
故答案为：3；
（3）设AB边上的高为h，则 AB•h=3，
即 ×5.4h=3，解得h≈1．
点评： 本题考查的是作图?平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
23．如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠ADE．
考点： 三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．
分析： 根据直角三角形两锐角互余求出∠CAE，再根据角平分线的定义可得∠DAE= ∠CAE，进而得出∠ADE．
解答： 解：∵AE是△ABC边上的高，∠ACB=40°，
∴∠CAE=90°?∠ACB=90°?40°=50°，
∴∠DAE= ∠CAE= ×50°=25°，
∴∠ADE=65°．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，熟记定理与概念并准确识图是解题的关键．
24．若不等式组 的解集是?1＜x＜3，
（1）求代数式（a+1）（b?1）的值；
若a，b，c为某三角形的三边长，试求|c?a?b|+|c?3|的值．
考点： 解一元一次不等式组；三角形三边关系．
分析： 先把a，b当作已知条件求出不等式组的解集，再与已知解集相比较求出a，b的值．
（1）直接把ab的值代入即可得出代数式的值；
根据三角形的三边关系判断出c?a?b的符号，再去绝对值符号．合并同类项即可．
解答： 解： ，
由①得，x＜ ，
由②得，x＞2b?3，
∵不等式组的解集是?1＜x＜3，
∴ =3，2b?3=?1，
∴a=5，b=2．
（1）（a+1）（b?1）=（5+1）=6；
∵a，b，c为某三角形的三边长，
∴5?2＜c＜5+2，即3＜c＜7，
∴c?a?b＜0，c?3＞0，
∴原式=a+b?c+c?3
=a+b?3
=5+2?3
=4．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25．如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC、CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1=∠2．
题设（已知）： ①② ．
结论（求证）： ③ ．
证明： 省略 ．
考点： 命题与定理；平行线的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 可以有①②得到③：由于AB⊥BC、CD⊥BC得到AB∥CD，利用平行线的性质得到∠ABC=∠DCB，又BE∥CF，则∠EBC=∠FCB，可得到∠ABC?∠EBC=∠DCB?∠FCB，即有∠1=∠2．
解答： 已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF．
求证：∠1=∠2．
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC?∠EBC=∠DCB?∠FCB，
∴∠1=∠2．
故答案为①②；③；省略．
点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了平行线的性质．
26．某商场用18万元购进A、B两种商品，其进价和售价如下表：
A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1380 1200
（1）若销售完后共获利3万元，该商场购进A、B两种商品各多少件；
若购进B种商品的件数不少于A种商品的件数的6倍，且每种商品都必须购进．
①问共有几种进货方案？
②要保证利润最高，你选择哪种进货方案？
考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
分析： （1）由题意可知本题的等量关系，即“两种商品总成本为18万元”和“共获利3万元”，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解；
根据题意列出不等式组，解答即可．
解答： 解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件．
根据题意得
化简得 ，
解得 ，
答：该商场购进A种商品100件，B种商品60件；
设购进A种商品x件，B种商品y件．
根据题意得：
解得： ， ， ， ， ，
故共有5种进货方案
A B
方案一 25件 150件
方案二 20件 156件
方案三 15件 162件
方案四 10件 168件
方案五 5件 174件
②因为B的利润大，所以若要保证利润最高，选择进A种商品5件，B种商品174件．
点评： 此题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出等量关系，列方程求解．
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