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2012-2013学年辽宁省朝阳市建平县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（　　）

　A．A⇒B⇒C⇒DB．D⇒B⇒C⇒AC．C⇒D⇒A⇒BD．A⇒C⇒B⇒D

考点：平行投影．
分析：解：根据平行投影的特点和规律可知，C，D是上午，A，B是下午，根据影子的长度可知先后为C→D→A→B．
解答：解：根据平行投影的特点和规律可知，C，D是上午，A，B是下午，
根据影子的长度可知先后为C→D→A→B．
故选C．
点评：本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西?西北?北?东北?东，影长由长变短，再变长．
　
2．（3分）已知直角三角形的两边长是方程x2?7x+12=0的两根，则第三边长为（　　）
　A．7B．5C． D．5或

考点：勾股定理；解一元二次方程-因式分解法．
专题：分类讨论．
分析：求出方程的解，得出直角三角形的两边长，分为两种情况：①当3和4是两直角边时，②当4是斜边，3是直角边时，根据勾股定理求出第三边即可．
解答：解：x2?7x+12=0，
（x?3）（x?4）=0，
x?3=0，x?4=0，
解得：x1=3，x2=4，
即直角三角形的两边是3和4，
当3和4是两直角边时，第三边是 =5；
当4是斜边，3是直角边时，第三边是 = ，
即第三边是5或 ，
故选D．
点评：本题考查了解一元二次方程和勾股定理，注意：解此题时要进行分类讨论．
　
3．（3分）已知x=3是关于x的方程 x2?2a+1=0的一个解，则2a的值是（　　）
　A．11B．?6.5C．13D．?13

考点：一元二次方程的解．
专题：．
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=3代入原方程即可求得2a的值．
解答：解：把x=3代入原方程得： ×9?2a+1=0，
∴2a=13；
故选C．
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
　
4．（3分）下列命题中错误的（　　）
　A．一对邻角互补的四边形是平行四边形
　B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
　C．等腰梯形的对角线相等
　D．平行四边形的对角线互相平分

考点：命题与定理．
分析：利用梯形可对A进行判断；根据平行四边形的判定方法对B进行判断；根据等腰梯形的性质对C进行判断；根据平行四边形的性质对D进行判断．
解答：解：A、直角梯形的一对邻角互补，所以A选项的命题为假命题；
B、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以B选项为真命题；
C、等腰梯形的对角线相等，所以C选项为真命题；
D、平行四边形的对角线互相平分，所以D选项为真命题．
故选A．
点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
　
5．（3分）（2007•洞头县二模）如图，在直角坐标系中，直线y=6?x与函数 （x＞0）的图象相交于点A、B，设A点的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长分别是（　　）

　A．4，12B．4，6C．8，12D．8，6

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：探究型．
分析：先根据两函数图象的交点在第一象限可知x＞0，y＞0，再根据两函数有交点可列出关于x、y的方程组，求出x，y的值，再根据矩形的面积及周长公式进行解答即可．
解答：解：∵两函数图象的交点在第一象限，
∴x＞0，y＞0，
∴ ，
∴ =6?x，
∴x2?6x+4=0，
解得x=3± ，
∵A在B的左边，
∴x=3? ，y=3+ ，即A（3? ，3+ ），
∴矩形的面积=（3? ）（3+ ）=4；
矩形的周长=2（3? ）+2（3+ ）=12．
故选A．
点评：本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出关于x、y的方程组是解答此题的关键．
　
6．（3分）如果点A（?1，y1）、B（1，y2）、C（ ，y3）是反比例函数 图象上的三个点，则下列结论正确的是（　　）
　A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B和点C的纵坐标的大小即可．
解答：解：∵反比例函数的比例系数为?1，
∴图象的两个分支在二、四象限；
∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A在第二象限，点B、C在第四象限，
∴y1最大，
∵1＞ ，y随x的增大而增大，
∴y2＞y3，
∴y1＞y2＞y3．
故选A．
点评：考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，图象的2个分支在二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，y随x的增大而增大．
　
7．（3分）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　）
　A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
　C．三边上高的交点D．三边中垂线的交点

考点：线段垂直平分线的性质．
专题：．
分析：为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
解答：解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选D．
点评：本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
　
8．（3分）（2009•荆州）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　）

　A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

考点：勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
专题：压轴题．
分析：根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8?x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
解答：解：设CN=xcm，则DN=（8?x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8?x）cm，
而EC= BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8?x）2=16+x2，
整理得16x=48，所以x=3．
故选A．
点评：折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题．
　
二、认真填一填：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
9．（3分）已知 是关于x的方程：x2?6x+a=0的一个解，则2a?1的值是　13　．

考点：一元二次方程的解．
分析：把x= 代入关于x的方程x2?6x+a=0，列出关于a的方程，通过解该方程来求得a的值，然后把a的值代入所求的代数式并求值即可．
解答：解：由题意，得
（3? ）2?6（3? ）+a=0，即?7+a=0，
解得a=7，
则2a?1=2×7?1=13．
故答案是：13．
点评：本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
　
10．（3分）在一个有40万人口的县，随机调查了3000人，其中有2130人看中央电视台的《焦点访谈》，在该县随便问一个人，他看《焦点访谈》的概率大约是　 　．

考点：概率公式．
专题：．
分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
解答：解：由题意知：3000人中有2130人看中央电视台的《焦点访谈》，
∴在该县随便问一个人，他看《焦点访谈》的概率大约是 = ．
故答案为： ．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
　
11．（3分）菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为　18 　．

考点：菱形的性质．
分析：根据菱形对角线垂直且互相平分，且每条对角线平分它们的夹角，即可得出菱形的另一一条对角线长，再利用菱形的面积公式求出即可．
解答：解：如图所示：∵菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，
∴设∠BAD=60°，BD=6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC=30°，DO=BO=3，
∴AO= =3 ，
∴AC=6 ，
则它的面积为： ×6×6 =18 ．
故答案为：18 ．

点评：此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式以及对角线之间的关系是解题关键．
　
12．（3分）（2012•临邑县一模）依次连接菱形各边中点所得到的四边形是　矩形　．

考点：矩形的判定；平行线的性质；三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的性质．
专题：证明题．
分析：连接AC、BD交于O，根据三角形的中位线定理推出EF∥BD∥HG，EH∥AC∥FG，得出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形性质推出AC⊥BD，推出EF⊥EH，即可得出答案．
解答：解：
连接AC、BD交于O，
∵E、F、G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，HG∥BD，EH∥AC，
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥BD，EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：矩形．
点评：本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，平行线性质等知识点的运用，主要考查学生能否正确运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中．
　
13．（3分）如图，是一个几何体的三视图，那么这个几何体是　空心的圆柱　．

考点：由三视图判断几何体．
分析：两个视图是矩形，一个视图是个圆环，那么符合这样条件的几何体是空心圆柱．
解答：解：如图，该几何体的三视图中两个视图是矩形，一个视图是个圆环，故该几何体为空心圆柱．
点评：本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力．
　
14．（3分）用配方法将二次三项式x2+4x?96变形，结果为　（x+2）2?100　．

考点：配方法的应用．
专题：计算题．
分析：前两项加上4再减去4变形，利用完全平方公式化简即可得到结果．
解答：解：x2+4x?96=x2+4x+4?100=（x+2）2?100．
故答案为：（x+2）2?100
点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
　
15．（3分）（2009•安顺）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于　30　度．

考点：平行四边形的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：要使其面积为矩形面积的一半，平行四边形ABCD的高必须是矩形宽的一半，根据直角三角形中30°的角对的直角边等于斜边的一半可知，这个平行四边形的最小内角等于30度．
解答：
解：∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底BC，
∴平行四边形ABCD的高AE是矩形宽AB的一半．
在直角三角形ABE中，AE= AB，
∴∠ADC=30°．
故答案为30．
点评：主要考查了平行四边形的面积公式和基本性质．平行四边形的面积等于底乘高．
　
16．（3分）如图，一个正方形摆放在桌面上，则正方形的边长为　 　．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析：标注字母，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“角角边”字母△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：解：如图，由正方形可得，AB=AD，∠BAD=90°，
∠1+∠2=180°?90°=90°，
∵BE⊥AE，
∴∠2+∠3=180°?90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF=1，
在Rt△ABE中，AB= = = ，
即正方形的边长为 ．
故答案为： ．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，利用三角形全等，把长度为1、2的边转化为一个直角三角形的两直角边是解题的关键．
　
三、细心做一做（17题每小题12分共12分18题8分）
17．（12分）（1）解方程：
（2）解方程：x2+4x?6=0．

考点：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．
分析：（1）求出b2?4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）求出b2?4ac的值，再代入公式求出即可．
解答：解：（1） ，
b2?4ac=（?2 ）2?4×2×1=4，
x= ，
x1= ，x2= ．（2）x2+4x?6=0，
b2?4ac=42?4×1×（?6）=40，
x= ，
x1=?2+ ，x2=?2? ．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
　
18．（8分）如图，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．
（1）试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点P表示）．如果是太阳光请画出光线．
（2）在图中画出表示大树高的线段．
（3）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树．

考点：平行投影；视点、视角和盲区．
分析：（1）根据光线相交于一点得出确定路灯的位置；
（2）利用AB，DE，确定大树的高，
（3）运用视角连接AD，即可得出能否看见大树．
解答：解：（1）根据光线相交于一点，即可得出路灯确定路灯的位置；
（2）如图所示：
（3）如图所示，小明的眼睛近似地看成是点D，小明不能看见大树．

点评：此题主要考查了平行投影与中心投影以及视角问题，根据已知确定住P点的位置是解决问题的关键．
　
四、解答题（19题7分、20题9分）
19．（7分）（2005•南通）杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：

当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．
问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？

考点：游戏公平性．
分析：游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
解答：解：（1）这个游戏对双方不公平．
∵P（拼成电灯）= ；P（拼成小人）= ；P（拼成房子）= ；
P（拼成小山）= ，
∴杨华平均每次得分为 （分）；
季红平均每次得分为 （分）．
∵ ＜ ，
∴游戏对双方不公平．（2）改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，
就能使游戏对双方公平．（答案不惟一，其他规则可参照给分）
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
20．（9分）如图，已知直线y=?x+4与反比例函数 的图象相交于点A（?2，a），并且与x轴相交于点B．
（1）求a的值；
（2）求反比例函数的表达式；
（3）求△AOB的面积．

考点：反比例函数综合题．
专题：待定系数法．
分析：（1）把A的坐标代入直线解析式求a；
（2）把求出的A点坐标代入反比例解析式中求k，从而得解析式；求B点坐标，结合A点坐标求面积．
解答：解：（1）将A（?2，a）代入y=?x+4中，得：a=?（?2）+4，所以a=6（2）由（1）得：A（?2，6）
将A（?2，6）代入 中，得到： ，即k=?12
所以反比例函数的表达式为： （3）如图：过A点作AD⊥x轴于D；
∵A（?2，6）
∴AD=6
在直线y=?x+4中，令y=0，得x=4
∴B（4，0），即OB=4
∴△AOB的面积S= OB×AD= ×4×6=12．

点评：熟练掌握解析式的求法．在进行与线段有关的计算时，注意点的坐标与线段长度的关系．
　
五、（21、22题各10分）
21．（10分）将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．

考点：一元二次方程的应用．
专题：几何图形问题．
分析：本题可设原铁皮的边长为xcm，将这块正方形铁皮四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子后，盒子的底面积变为（x?2×4）2，其高则为4cm，根据体积公式可列出方程，然后解方程求出答案即可．
解答：解：设原铁皮的边长为xcm，
依题意列方程得（x?2×4）2×4=400，
即（x?8）2=100，
所以x?8=±10，
x=8±10．
所以x1=18，x2=?2（舍去）．
答：原铁皮的边长为18cm．
点评：这类题目体现了数形结合的思想，通常把实际问题转换为方程求解，但应注意考虑解得合理性，即考虑解的取舍．
　
22．（10分）（2010•安顺）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

考点：矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．
专题：证明题；开放型．
分析：（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，我样可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD= BC，由已知可得，DC= BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
解答：（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
点评：本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
　
六\（23、24题各10分）
23．（10分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？

考点：一元二次方程的应用．
分析：根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3?0.5x）元，由题意得（x+3）（3?0.5x）=10求出即可．
解答：解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3?0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3?0.5x）=10．
化简，整理，的x2?3x+2=0．
解这个方程，得x1=1，x2=2，
则3+1=4，2+3=5，
答：每盆应植4株或者5株．
点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．
　
24．（10分）（2006•中山）如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题；探究型．
分析：（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．
（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四边形EAFC是平行四边形．

点评：本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定．多种知识综合运用是解题中经常要遇到的．
　
七、（12分）
25．（12分）已知反比例函数 和一次函数y=2x?1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+2，b+k）两点．
（1）求：反比例函数的解析式．
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两函数的图象上．求点A的坐标．
（3）利用（2）的结果，问在x轴上是否存在点P，使得△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标直接写出来；若不存在，说明理由．

考点：反比例函数综合题．
分析：（1）先把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得到 ，然后结果代数式变形可解得k=4，则可确定反比例函数解析式；
（2）把一次函数与反比例函数解析式组成方程组，再解方程组可确定A点坐标；
（3）先利用勾股计算出OA= ，过A点作AP1⊥x轴，则△OAP1为等腰三角形；作点O关于AP1的对称点P2，则△OAP2为等腰三角形；以O点为圆心，OA为半径画弧交x轴与P3，P4，则△OAP3、△OAP4为等腰三角形；然后利用线段长分别确定各点坐标．
解答：解：（1）把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得 ，解得k=4，
所以反比例函数解析式为y= ；（2）解方程组 得 或 ，
∵A点在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）；（3）存在．
OA= = ，
满足条件的点P坐标为（ 1，0）、（2，0）、（ ，0）、（? ，0）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质；运用分类讨论的思想解决问题．
　
八、（14分）
26．（14分）（2010•鞍山）在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

考点：等腰梯形的性质；一元二次方程的应用．
专题：压轴题；开放型．
分析：（1）先作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，根据等腰梯形的性质，可得BK= （BC?AD）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直线故平行，可得比例线段，求出FG= ，利用面积公式可得S△BEF=? x2+ x（7≤x≤10，因为BF最大取5，故BE最小取7，又不能超过10）；
（2）根据题意，结合（1）中面积的表达式，可以得到 S梯形ABCD=? x2+ x，即14=? x2+ x，解得，x1=7，x2=5（不合题意，舍去）；
（3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：2就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．
解答：解：（1）由已知条件得：
梯形周长为24，高4，面积为28．
过点F作FG⊥BC于G
∴BK= （BC?AD）= ×（10?4）=3，
∴AK= =4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，
∴BF=12?x，
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴ ，
即： ，
则可得：FG= ×4
∴S△BEF= BE•FG=? x2+ x（7≤x≤10）；（3分）（2）存在（1分）
由（1）得：? x2+ x=14，
x2?12x+35=0，
（x?7）（x?5）=0，
解得x1=7，x2=5（不合题意舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；（3）不存在（1分）
假设存在，第一种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2（1分），
梯形ABCD周长的三分之一为 =8，面积的三分之一为 ．因为BE=X，
所以BF=（8?X）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴ = ，
∴FM= ，
∴△BEF的面积= ，
当 梯形ABCD的面积= 时，
∴ = ，
整理方程得：?3x2+24x?70=0，
△=576?840＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．（2分）
第二种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1（1分），
梯形ABCD周长的三分之一为 =8，面积的三分之一为 ．因为BE=x，
所以BF=（8?x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴ ，
∴FM= ，
∴△BEF的面积= ，
当 梯形ABCD的面积= 时，
∴ = ，
整理方程得：3x2?24x+140=0，
△＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．

点评：本题利用了等腰梯形的性质、垂直于同一直线的两直线平行，勾股定理，三角形、梯形面积公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式等知识．
　

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