2014年1月期末试题分类汇编——代数综合

（2014?石景山1月期末?24）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点. C为二次函数图象的顶点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）定义函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，若y1≠y2，函数f的函数值等于y1、y2中的较小值;若y1=y2，函数f的函数值等于y1（或y2）.” 当直线（k >0）与函数f的图象只有两个交点时，求的值.

24. 解：（1）设抛物线解析式为，
由抛物线过点，可得…………2分
（2）可得
直线（k >0）与函数f的图象只有两个交点共有三种情况：
①直线与直线：平行，此时；…3分
②直线过点，此时； ………………4分

③直线与二次函数的图象只有一个交点，
此时有 得,
由可得.…………5分
综上：，，
（2014?西城1月期末?8）若抛物线（是常数）与直线有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则的取值范围是
A．B．C．D．

23．已知：二次函数（为常数）．
（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．
　 ①求的值；
②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；
　（2） 当0≤≤2时，求函数的最小值（用含的代数式表示）．
23．解：（1）①∵ 二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，
　　　　　　∴ ．1分
　　　　　　整理，得．
　　　　　　解得，，．
　　　　　　又点A在x轴的正半轴上，
　　　　　　∴ ．
　　　　　　∴ =4．2分
　　　　②由①得点A的坐标为．
　　　　　∵ 四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，
　　　　　∴ 点B的坐标为，点C的坐标为．3分
　　　　　设平移后的图象对应的函数解析式为(b，c为常数)．
　　　　　∴
　　　　　解得
　　　　　∴平移后的图象对应的函数解析式为．4分
（２）函数的图象是顶点为，且开口向上的抛物线．分三种情况：
(?)当，即时，函数在0≤≤2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为；
(?)当0≤≤2，即0≤≤4时，函数的最小值为；
(?)当，即时，函数在0≤≤2内y随x的增大而减小，此时函数的最小值为．
　　　　　综上，当时，函数的最小值为；
　　　　　 当时，函数的最小值为；
　　　　　 当时，函数的最小值为．7分
（2014?海淀1月期末?23）已知抛物线（）．
（1）求抛物线与轴的交点坐标；
（2）若抛物线与轴的两个交点之间的距离为2，求的值；
（3）若一次函数的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式.
　　
23. （本小题满分7分）
解：（1）令，则.
　　　　∵，
　　　　解方程，得 .
　　　　∴，.
　　　　∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（，0）. …………………2分
　　（2） ∵， ∴.
　　由题意可知，. …………………………………………………3分[:学科网ZXXK]
　　解得，.
　　经检验是方程的解且符合题意.
　　∴.………………………………………………………………………4分
　　（3）∵一次函数的图象与抛物线始终只有一个公共点，
　　　　　∴方程有两个相等的实数根.
　　　　　整理该方程，得 ，
　　　　　∴，
　　　　　解得 . …………………………………………………………6分
　　　　　∴一次函数的解析式为.………………………………………7分

（2014?东城1月期末?23）已知二次函数（a, 为常数，且a≠0）.（1）求证：不论a与为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．
23. 解：（1）证明：
　　　　
　　　　 ……………………………..1分
　　　　
　　　　 …………………………..2分
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∴不论a与为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．…………..3分
　　（2）
　　
　　　　　 …………………………4分
　　　　当y=0时，
　　　　解得x1 = ，x2 = + 2.
　　　　∴AB=（ + 2）- = 2. ………………………………..5分
　　　　当△ABC是等腰直角三角形时，可求出AB边上高等于1．
　　　　∴ ．
　　　　∴ ． ……………………………………………..7分
（2014?昌平1月期末?24）已知二次函数y = x2 ? kx + k ? 1（ k＞2）.
　（1）求证：抛物线y = x2 ? kx + k - 1（ k＞2）与x轴必有两个交点；
　（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,若，求抛物线的表达式；
（3）以（2）中的抛物线上一点P（,n）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当取何值时，x轴与相离、相切、相交.

24．（1）证明：∵，……………………… 1分
又∵，∴.∴即.
∴抛物线y = x2 ? kx + k - 1与x轴必有两个交点. ………………………………… 2分
　　　　(2) 解：∵抛物线y = x2 ? kx + k - 1与x轴交于A、B两点，
　　　　　　∴令，有.
　　　　　　　　解得：. ……………………………………3分
　　　　　　　∵，点A在点B的左侧，
　　　　　　∴.
　　　　　　∵抛物线与y轴交于点C,
　　　　　　　∴. ……………………………………… 4分
∵在Rt中, ,
　　　　　　 ∴, 解得.
∴抛物线的表达式为. ………………………………………………… 5分
（3）解：当或时，x轴与相离. ………………………6分
当或或时，x轴与相切. ……………7分
当或时，x轴与相交. ……………………8分

（2014?门头沟1月期末?23）已知抛物线的顶点在x轴上，且与y轴交于A点. 直线经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）.
　　（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；
（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h ，点P的横坐标为x.当x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值.

　23.（1)∵抛物线的顶点在x轴上，
　　　　　∴.
　　　　　∴b=±2 . …………………1分
　　　　∴抛物线的解析式为或 .…2分
　　　　　将B（3，4）代入，左=右，[:学科网ZXXK]
　　　　　∴点B在抛物线上.
　　　　　将B（3，4）代入，左≠右，
　　　　∴点B不在抛物线上.………………………3分
（2）∵A点坐标为（0 ，1），点B坐标为（3，4），直线过A、B两点
　　　　　∴.∴ ………………………4分
　　　　∴ .
　　　　∵点B在抛物线上.
　　　　　设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE .
　　　　∴ PE=h=yP－yE
　　　 =(x+1)－(x2－2x+1)
　　　 =－x2+3x .……………………5分
　　　即h=x2+3x (0＜x＜3).
　　　∴当时，h有最大值 …………………6分
　　　　最大值为 …………………7分

（2014?延庆1月期末?23） 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（4，n）在这条抛物线上．
（1）求B点的坐标；
　（2）将此抛物线的图象向上平移个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，
　　图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.
　　请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的
　　取值范围.
23.解：(1)抛物线过原点
∴=0
∴ ………………………………1分
∵≠1
∴ ………………………………2分
∴ ………………………………3分
∵点B（4，n）在这条抛物线上
∴n=4
∴B（4，4） ………………………………4分
　（2）将此抛物线的图象向上平移个单位，平移后的图象的解析式；
………………………………5分
（3）的取值范围是： 或 ………………7分

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