山

23、（13年北京5分20）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。
（1）求证：∠EPD=∠EDO
（2）若PC=6，tan∠PDA= ，求OE的长。

考点：圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）

24、（13年北京8分25）对于平面直角坐标系 O 中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。
已知点D（ ， ），E（0，-2），F（ ，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；
②过点F作直线交 轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（ ， ）是⊙O的关联点，求 的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 的取值范围。

解析：【解析】(1) ① ；
② 由题意可知，若 点要刚好是圆 的关联点；
需要点 到圆 的两条切线 和 之间所夹
的角度为 ；
由图 可知 ，则 ，
连接 ，则 ；
∴若 点为圆 的关联点；则需点 到圆心的距离 满足 ；
由上述证明可知，考虑临界位置的 点，如图2；
点 到原点的距离 ；
过 作 轴的垂线 ，垂足为 ；
；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
易得点 与点 重合，过 作 轴于点 ；
易得 ；
∴ ；
从而若点 为圆 的关联点，则 点必在线段 上；
∴ ；
(2) 若线段 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，
则这个圆的圆心应在线段 的中点；
考虑临界情况，如图3；
即恰好 点为圆 的关联时，则 ；
∴此时 ；
故若线段 上的所有点都是某个圆的关联点，
这个圆的半径 的取值范围为 .

【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开
头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于 倍半
径的点.
了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.
考点：代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）

25、(2013年广东湛江)下面的材料，先完成，再将要求答题：
，则 ； ①
，则 ； ②
，则 ． ③
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角 ，都有 1 ．④
（１）如图，在锐角三角形 中，利用三角函数的定义及勾股定理
对 证明你的猜想；
（２）已知： 为锐角 且 ，求 ．
（１）证明：过点 作 于 ，在 △ 中， ，
由勾股定理得， ，
（２）解： 为锐角 ， ，

26、（2013•郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）E、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示E、FN，并探究E、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．3718684
分析：（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出C= CP，然后求出E，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得E+FN=BH；
（3）分别求出E、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC?S△PCE?S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．
解答：（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，E⊥CP，
∴C= CP= ，tanC=tanA=k，
∴E=C•tanC= •k= ，
同理：FN=AN•tanA= •k=4k? ，
由于BH=AH•tanA= ×8•k=4k，
而E+FN= +4k? =4k，
∴E+FN=BH；

（3）解：当k=4时，E=2x，FN=16?2x，BH=16，
所以，S△PCE= x•2x=x2，S△APF= （8?x）•（16?2x）=（8?x）2，S△ABC= ×8×16=64，
S=S△ABC?S△PCE?S△APF，
=64?x2?（8?x）2，
=?2x2+16x，
配方得，S=?2（x?4）2+32，
所以，当x=4时，S有最大值32．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．

27、（2013•呼和浩特）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．3718684
分析：（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；
（2）首先连接D，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得D与E的长，由余弦的定义，即可求得答案；
（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2= k•（10+5k），解此方程即可求得答案．
解答：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED为⊙O直径，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；

（2）解：连接D，
设EF=4k，df=3k，
则ED= =5k，
∵ AD•EF= AE•D，
∴D= = = k，
∴E= = k，
∴cos∠AED= = ；

（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE2=CE•BE，
∴（5k）2= k•（10+5k），
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD= k=5．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．

28、（2013•滨州压轴题）根据要求，解答下列问题：
（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；
（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．
①求直线l3的函数表达式；
②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．
（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=? 垂直的直线l5的函数表达式．

考点：一次函数综合题．
分析：（1）根据题意可直接得出l2的函数表达式；
（2）①先设直线l3的函数表达式为y=k1x（k1≠0），根据过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，直线过一、三象限，求出k1=tan30°，从而求出直线l3的函数表达式；
②根据l3与l4的夹角是为90°，求出l4与x轴的夹角是为60°，再设l4的解析式为y=k2x（k2≠0），根据直线l4过二、四象限，求出k2=?tan60°，从而求出直线l4的函数表达式；
（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可得出它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，再根据这一关系即可求出与直线y=? 垂直的直线l5的函数表达式．
解答：解：（1）根据题意得：y=?x；

（2）①设直线l3的函数表达式为y=k1x（k1≠0），
∵过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，直线过一、三象限，
∴k1=tan30°= ，
∴直线l3的函数表达式为y= x；
②∵l3与l4的夹角是为90°，
∴l4与x轴的夹角是为60°，
设l4的解析式为y=k2x（k2≠0），
∵直线l4过二、四象限，
∴k2=?tan60°=? ，
∴直线l4的函数表达式为y=? x；

（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，
∴过原点且与直线y=? 垂直的直线l5的函数表达式为y=5x．

点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是锐角三角函数、一次函数的解析式的求法，关键是根据锐角三角函数求出k的值，做综合性的题要与几何图形相结合，更直观一些．

29、（2013菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．

考点：切线的判定与性质；解直角三角形．
分析：（1）连接AO，AC（如图）．欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；
（2）利用（1）中切线的性质在Rt△OAP中利用边角关系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=2 ，CD=4．
解答：（1）证明：连接AO，AC（如图）．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠CAD=90°．
∵E是CD的中点，
∴CE=DE=AE．
∴∠ECA=∠EAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC．
∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AP．
∵A是⊙O上一点，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知OA⊥AP．
在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴sinP= =，
∴∠P=30°．
∴∠AOP=60°．
∵OC=OA，
∴∠ACO=60°．
在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，
∴AC= =2 ，
又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°?∠ACO=30°，
∴CD= = =4．

点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形．注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值．　

山
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