2014-2015学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.
1．如图，已知圆心角∠BOC=76°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A． 152° B． 76° C． 38° D． 36°
2．已知 = ，那么下列各等式一定成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
3．将抛物线y=2x2先向上平移两个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A． y=2（x+3）2+2 B． y=2（x+3）2?2 C． y=2（x?3）2+2 D． y=2（x?3）2?2
4．从一幅扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情是（ ）
A． 必然事件 B． 随机事件 C． 不可能事件 D． 很可能事件
5．已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ）
A． 60°＜α＜90° B． 30°＜α＜90° C． 0°＜α＜60° D． 0°＜α＜30°
6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=8，则CD的长为（ ）
A． 4 B． 8 C． 8 D． 16
7．下列各组中的两个图形，一定相似的是（ ）
A． 有一个角对应相等的两个菱形
B． 对应边成比例的两个多边形
C． 两条对角线对应成比例的两个平行四边形
D． 任意两个矩形
8．如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1．点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，则这个矩形的面积是（ ）
A． B． 1 C． D．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A． 1：5 B． 1：9 C． 1：10 D． 1：12
10．二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（ ）
①abc＞0；②2a?3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个实数解x1，x2，且x1+x2＜0； ⑤9a+3b+c＞0；⑥当x＜1时，y随x增大而减小．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．
11．已知线段a=4，b=8，则a、b的比例中项线段等于 ．
12．如图，正五边形ABCDE的对角线为BE，则∠ABE的度数为 ．
13．如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的一条弦，∠O=60°，则图中阴影弓形的面积为 ．
14．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（?1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标为 ．
15．把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为 ．
16．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若⊙O和三角形三边都相切，则符合条件的⊙O的半径为 ．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
1）求比例式4：3=5：x中x的值．
（2）计算：cos245°+tan60°•sin60°．
18．由地面上A点测得山顶电视塔顶点B和电视塔基地C点的仰角分别为60°和30°，已知山顶C到地平面的垂直高度为50米．求电视塔高BC．
19．如图，在△PAB中，C，D分别为AP，BP上的点，若 = = ，AB=8cm，求CD的长．
20．某校九年级有12个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书的阅读量情况，准备从这12个班中抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n，当0≤n＜5时，该学生为一般读者；当5≤n＜10时，该学生为良好读者；当n≥10时，该学生为优秀读者．
（1）下列四种抽取方法：①随机抽取一个班的学生；②从这12个班中随机抽取50名学生；③随机抽取50名男生；④随机抽取50名女生，其中最具有代表性的是哪一种？
（2）由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读书的本数数据如下：
阅读本数n 0 2 4 5 6 8 10 12 14 16
人数 1 1 2 3 12 11 5 8 5 2
根据以上数据回答下列问题：
①求样本中优秀读者的频率；
②估计该校九年级优秀读者的人数；
③在样本中为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率．
21．如图，△ABC中，AB=4，BC=3，以C为圆心，CB的长为半径的圆和AC交于点D，连接BD，若∠ABD= ∠C．
（1）求证：AB是⊙C的切线；
（2）求△DAB的面积．
22．随着城市高楼的增加，高楼火灾越来越受重视，今年11月9日消防日来临前，某区消防中队开展技能比赛．考官在一废弃高楼距地面10米的M处和正上方距地面13米的N处各设置了一个火源．随后消防甲队出场，来到火源的正前方，估计高度后，消防员站在A处，拿着水枪距地面一定高度C处喷出水，只见水流划过一道漂亮的抛物线，准确的落在M处，待M处火熄灭后，消防员不慌不忙，没有做任何调整，只向着楼房移动到B处，只见水流又刚好落在N处．随后的录像资料显示第一次水流在距离楼房水平距离为2米的地方达到最大高度，且距离地面14米（图中P点）．
（1）根据图中建立的平面直角坐标系（x轴在地面上），写出P，M，N的坐标；
（2）求出上述坐标系中水流CPM所在抛物线的函数表达式；
（3）请求出消防员移动的距离AB的长．
23．如图，AB=3，∠A=∠B=30°，动点O从A出发，沿AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤1.5）．以O为圆心，OA长为半径的⊙O与射线AB，AC的另一个交点分别为P，Q，连接CP，PQ．
（1）当t为何值时⊙O和直线BC相切；
（2）若线段PC和⊙O只有一个交点，请求出t的取值范围；
（3）设△QCP的面积为S，试求S与t之间的函数表达式，并求S的最大值．
2014-2015学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.
1．如图，已知圆心角∠BOC=76°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A． 152° B． 76° C． 38° D． 36°
考点： 圆周角定理．
分析： 直接根据圆周角定理进行解答即可．
解答： 解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC=76°，
∴∠BAC= ∠BOC= ×76°=38°．
故选C．
点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
2．已知 = ，那么下列各等式一定成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
考点： 比例的性质．
分析： 根据比例的性质，可得ad=bc，再根据等式的性质，可得答案．
解答： 解：由比例的性质，得
ad=bc．
由等式的性质，得
= ，故B正确；
故选：B．
点评： 本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，等式的性质．
3．将抛物线y=2x2先向上平移两个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A． y=2（x+3）2+2 B． y=2（x+3）2?2 C． y=2（x?3）2+2 D． y=2（x?3）2?2
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 先确定抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的点的坐标为（3，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
解答： 解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的点的坐标为（3，2），
所以平移后抛物线的解析式为y=2（x?3）2+2．
故选：C．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．从一幅扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情是（ ）
A． 必然事件 B． 随机事件 C． 不可能事件 D． 很可能事件
考点： 随机事件．
分析： 根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断．
解答： 解：从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，是必然事件，故选A．
点评： 本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ）
A． 60°＜α＜90° B． 30°＜α＜90° C． 0°＜α＜60° D． 0°＜α＜30°
考点： 锐角三角函数的增减性．
分析： 根据锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．
解答： 解：由sinα=0.5，得α=30°，
由锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，得
0°＜α＜30°，
故选：D．
点评： 本题考查了锐角三角函数的增减性，利用了锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大．
6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=8，则CD的长为（ ）
A． 4 B． 8 C． 8 D． 16
考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE= OC=4 ，然后利用CD=2CE进行计算．
解答： 解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE= OC=4 ，
∴CD=2CE=8 ．
故选B．
点评： 本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
7．下列各组中的两个图形，一定相似的是（ ）
A． 有一个角对应相等的两个菱形
B． 对应边成比例的两个多边形
C． 两条对角线对应成比例的两个平行四边形
D． 任意两个矩形
考点： 相似图形．
分析： 根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断利用排除法求解．
解答： 解：A、有一个角对应相等，其他三个角一定对应相等，对应边成比例，所以这两个菱形一定相似，故本选项正确；
B、对应边成比例的两个多边形对应角不一定相等，故本选项错误；
C、两条对角线对应成比例的两个平行四边形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故本选项错误；
D、任意两个矩形，对应角一定相等，但对应边不一定成比例，故本选项错误．
故选A．
点评： 本题考查了相似图形，熟记概念并从对应角与对应边两个方面考虑求解是解题的关键．
8．如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1．点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，则这个矩形的面积是（ ）
A． B． 1 C． D．
考点： 垂径定理；等边三角形的性质；矩形的性质．
分析： 过点O作OF⊥BC于点F，连接BD、OC，根据垂径定理可得出BF的长，故可得出OB的长，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由△ABC为等边三角形得∠A=60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，易得∠CBD=30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD= BD= ，然后根据矩形的面积公式求解．
解答： 解：过点O作OF⊥BC于点F，连结BD、OC，
∵△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1，
∴BF= BC=1，∠OBC=30°，
∴OB= = = ．
∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD= ，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，CD= BD= ，
∴矩形BCDE的面积=BC•CD= ．
故选C．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A． 1：5 B． 1：9 C． 1：10 D． 1：12
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为3a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出 ，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．
解答： 解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为3a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴ = ，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：16，
∴S△ACD=16a?a?3a=12a，
∴S△BDE：S△ACD=a：12a=1：12．
故选：D．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
10．二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（ ）
①abc＞0；②2a?3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个实数解x1，x2，且x1+x2＜0； ⑤9a+3b+c＞0；⑥当x＜1时，y随x增大而减小．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答： 解：①∵开口向下，∴a＞0，
∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∵? =1＞0，a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
∴正确；
②∵a＞0，c＜0，
∴2a?3c＞0故②错误；
③∵? =1，
∴2a+b=0，故③错误．
④由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴ax2+bx+c=0有两个实数解x1，x2，
∵? =1，x1+x2=? ，
∴x1+x2= ＞0故④错误．
⑤因为不知抛物线与x轴的交点坐标，所以无法确定当x=3时的函数值，
故9a+3b+c＞0无法确定对错，故⑤错误；
⑥由图象可知，在对称轴的左侧y随x增大而减小，
故⑥正确；
故选A．
点评： 本题考查了二次函数的图象与其系数的关系，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．
11．已知线段a=4，b=8，则a、b的比例中项线段等于 ±4 ．
考点： 比例线段．
分析： 根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．
解答： 解：设a、b的比例中项为λ，
∵a=4，b=8，
∴λ2=ab=32，
∴λ=± ，
即a、b的比例中等于± ．
点评： 该题主要考查了比例中项等基本概念问题；解题的关键是灵活变形、准确计算．
12．如图，正五边形ABCDE的对角线为BE，则∠ABE的度数为 36° ．
考点： 正多边形和圆．
分析： 先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，求出一个内角的度数，根据△ABE是等腰三角形，一个三角形内角和180°，即可求出∠ABE的大小．
解答： 解：∵360°÷5=72°，180°?72°=108°，
∴正五边形每个内角的度数为108°，即∠A=108°，
又∵△ABE是等腰三角形，
∴∠ABE= （180°?108°）=36°．
故答案为36°．
点评： 本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．
13．如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的一条弦，∠O=60°，则图中阴影弓形的面积为 π? ．
考点： 扇形面积的计算．
分析： 过点O作OD⊥AB于点D，根据∠O=60°，OA=OB可知△OAB是等边三角形，故∠OAB=60°，由锐角三角函数的定义求出OD的长，再根据S弓形=S扇形AOB?S△OAB即可得出结论．
解答： 解：过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠O=60°，OA=OB=2，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴OD=OA•sin60°=2× = ，
∴S弓形=S扇形AOB?S△OAB= = = π? ．
故答案为： π? ．
点评： 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
14．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（?1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标为 （? ， ）或（ ，? ） ．
考点： 位似变换；坐标与图形性质．
分析： 位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（?kx，?ky）．
解答： 解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（?kx，?ky）
∴A'的坐标为：（? ， ）或（ ，? ）．
故答案为：（? ， ）或（ ，? ）．
点评： 此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
15．把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为 （1+ ）：2 ．
考点： 相似多边形的性质．
分析： 由题意，把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，先画出图形，根据相似多边形的性质即可解答．
解答： 解：根据题意，一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，
∴得 = ，
整理得 ? ?1=0
设 =t则原方程可化为：
t? ?1=0，
即t2?t?1=0，
解得，t= （负值舍去）或t= ．
∴原矩形长边与短边的比为
=t=（1+ ）：2．
点评： 本题考查相似多边形的性质及对应边长成比例的应用，还考查相似多边形周长之比等于相似比．
16．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若⊙O和三角形三边都相切，则符合条件的⊙O的半径为 1 ．
考点： 三角形的内切圆与内心．
分析： 利用勾股定理求得斜边的长，根据直角三角形三边的长和内切圆的半径之间的关系求解．
解答： 解：Rt△ABC的斜边AC= = =5，
则符合条件的⊙O的半径为： =1．
故答案是：1．
点评： 本题考查了直角三角形的内切圆，直角三角形的三边分别是a、b、c，其中c是斜边，则内切圆的半径是 ．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
1）求比例式4：3=5：x中x的值．
（2）计算：cos245°+tan60°•sin60°．
考点： 比例的性质；特殊角的三角函数值．
分析： （1）根据比例的性质，可得x的值；
（2）根据特殊角三角函数值，可得实数，根据实数的运算，可得答案．
解答： 解：（1）由比例的性质，得4x=3×5，
解得x= ；
（2）原式=（ ）2+ ×
= +
=2．
点评： 本题考查了比例的性质，（1）利用了比例的性质，（2）要熟记特殊角三角函数值．
18．由地面上A点测得山顶电视塔顶点B和电视塔基地C点的仰角分别为60°和30°，已知山顶C到地平面的垂直高度为50米．求电视塔高BC．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 在Rt△ACD中，求出AD，在Rt△ABD中求出BD，继而根据BC=BD?CD，即可得出电视塔BC的高度．
解答： 解：在Rt△ADC中，∠D=90°，∠CAD=30°，CD=50m，
∵cot∠CAD= ，
∴AD=CD•cot30°=50× =50 米，
在Rt△ADB中，∠D=90°，∠BAD=60°，
∵tan∠BAD= ，
∴BD=AD•tan60°=50 × =150米，
∴BC=BD?CD=150?50=100米．
答：电视塔的高度是100米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，要求同学们熟练掌握锐角三角函数的定义，难度一般．
19．如图，在△PAB中，C，D分别为AP，BP上的点，若 = = ，AB=8cm，求CD的长．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 由相似三角形的判定方法易证△CPD∽△BPA，利用三角形相似的性质：对应边的比值相等即可求出CD的长．
解答： 解：∵ = = ，∠P=∠P，
∴CPD∽△BPA，
∴ ，
∵AB=8cm，
∴CD= ×8=6cm．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
20．某校九年级有12个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书的阅读量情况，准备从这12个班中抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n，当0≤n＜5时，该学生为一般读者；当5≤n＜10时，该学生为良好读者；当n≥10时，该学生为优秀读者．
（1）下列四种抽取方法：①随机抽取一个班的学生；②从这12个班中随机抽取50名学生；③随机抽取50名男生；④随机抽取50名女生，其中最具有代表性的是哪一种？
（2）由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读书的本数数据如下：
阅读本数n 0 2 4 5 6 8 10 12 14 16
人数 1 1 2 3 12 11 5 8 5 2
根据以上数据回答下列问题：
①求样本中优秀读者的频率；
②估计该校九年级优秀读者的人数；
③在样本中为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率．
考点： 列表法与树状图法；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数与频率．
分析： （1）根据抽取方法的代表性可求得答案；
（2）①由样本中优秀读者20人，即可求得样本中优秀读者的频率；
②由①可求得该校九年级优秀读者的人数；
③首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：（1）∵①③④不具有全面性，
∴最具有代表性的是②．
故选：②；
（2）①∵样本中优秀读者20人，
∴样本中优秀读者的频率为： = ；
②该校九年级优秀读者的人数为：10×50× =200（人）；
③画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的有2种情况，
∴抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率为： = ．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．如图，△ABC中，AB=4，BC=3，以C为圆心，CB的长为半径的圆和AC交于点D，连接BD，若∠ABD= ∠C．
（1）求证：AB是⊙C的切线；
（2）求△DAB的面积．
考点： 切线的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）由CB=CD得∠CBD=∠CDB，根据三角形内角和定理得到∠C=180°?2∠CBD，由于∠ABD= ∠C，则2∠ABD=180°?2∠CBD，即可得到∠ABD+∠CBD=90°，于是可根据切线的判定得到AB是⊙C的切线；
（2）作BE⊥AC于E，如图，先根据勾股定理计算出AC=5，则AD=AC?CD=2，再利用面积法计算出BE= ，然后根据三角形面积公式求解．
解答： （1）证明：∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠C=180°?2∠CBD，
∵∠ABD= ∠C，
∴2∠ABD=180°?2∠CBD，
∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴AB是⊙C的切线
（2）解：作BE⊥AC于E，如图，
在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，
∴AC= =5，
∴AD=AC?CD=5?3=2，
∵ BE•AC= BC•AB，
∴BE= ，
∴△DAB的面积= ×2× = ．
点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
22．随着城市高楼的增加，高楼火灾越来越受重视，今年11月9日消防日来临前，某区消防中队开展技能比赛．考官在一废弃高楼距地面10米的M处和正上方距地面13米的N处各设置了一个火源．随后消防甲队出场，来到火源的正前方，估计高度后，消防员站在A处，拿着水枪距地面一定高度C处喷出水，只见水流划过一道漂亮的抛物线，准确的落在M处，待M处火熄灭后，消防员不慌不忙，没有做任何调整，只向着楼房移动到B处，只见水流又刚好落在N处．随后的录像资料显示第一次水流在距离楼房水平距离为2米的地方达到最大高度，且距离地面14米（图中P点）．
（1）根据图中建立的平面直角坐标系（x轴在地面上），写出P，M，N的坐标；
（2）求出上述坐标系中水流CPM所在抛物线的函数表达式；
（3）请求出消防员移动的距离AB的长．
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）结合函数图象及题目的实际意义就可以得出结论；
（2）由（1）的结论设抛物线的解析式为y=a（x?2）2+14，由待定系数法求出其解即可；
（3）设移动的距离AB的长为b米，由（1）的解析式建立方程求出其解即可．
解答： 解：（1）由题意，得
P（2，14），M（0，10），N（0，13）；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x?2）2+14，由题意，得
10=4a+14，
解得：a=?1，
∴水流CPM所在抛物线的函数表达式y=?（x?2）2+14；
（3）设移动的距离AB的长为b米，由题意，得
13=?（0?2+b）2+14，
解得：b1=1，b2=3＞2（舍去）．
答：消防员移动的距离AB的长为1米．
点评： 本题考查了点的坐标的运用，待定系数法求二次函数的解析式的运用，抛物线的平移的性质的运用，解答时将实际问题转化为数学问题求出函数的解析式是关键．
23．如图，AB=3，∠A=∠B=30°，动点O从A出发，沿AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤1.5）．以O为圆心，OA长为半径的⊙O与射线AB，AC的另一个交点分别为P，Q，连接CP，PQ．
（1）当t为何值时⊙O和直线BC相切；
（2）若线段PC和⊙O只有一个交点，请求出t的取值范围；
（3）设△QCP的面积为S，试求S与t之间的函数表达式，并求S的最大值．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）先过点C作CO⊥BC交AB于点O，此时⊙O和直线BC相切，再设AO=x，利用RT△OCB列出方程求解即可，
（2）由图可得分两种情况：当①0＜t≤ 时，线段PC和⊙O只有一个交点；②当1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点；
（3）分三种情况①当t＜1时，②当t=1时，③1＜t≤1.5时分别求解即可．
解答： 解：（1）如图1，过点C作CO⊥BC交AB于点O，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∵∠OCB=90°，
∴∠OCA=30°，
∴此时⊙O和直线BC相切，
设AO=x，则BO=3?x，
∵AO=OC，
在RT△OCB中，3?x=2x，
解得x=1．
∴当t=1时，⊙O和直线BC相切；
（2）①如图2，作CD⊥AB交AB于点D，
∵AB=3，∠A=∠B=30°，
∴AD= ，
∴AO= ，
∴当0＜t≤ 时，线段PC和⊙O只有一个交点；
②当1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点，
综上所述：当0＜t≤ 或1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点；
（3）①当t＜1时，如图3，作CD⊥AB交AB于点D，
∵AB=3，∠A=∠B=30°，
∴AD= ，
∴AC= ，
∵∠AQP=90°，∠A=30°，
∴AQ= AP= AO，QP=AO，
∴QC=AC?AQ= ? AO，
∴S= QC•QP= （ ? t）•t=? （t? ）2+ ，
∴S的最大值为 ；
②当t=1时，S=0，
③1＜t≤1.5时，如图4，
∵∠AQP=90°，∠A=30°，
∴AQ= AP= AO，QP=AO，
∵AC= ，
∴QC=AQ?AC= AO? ，
∴S= QC•QP= （ t? ）•t= （t? ）2+ ，
∴当t=1.5时，S有最大值为 ．
点评： 本题主要考查了圆的综合题，涉及切线，等腰三角形，特殊直角三角形及三角形的面积，解题的关键是根据情况正确的讨论求解，不要漏解．
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