2014-2015学年湖北省武汉市七一中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（共有10个小题，每小题3分）
1．使下列二次根式有意义的取值范围为x≥3的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． + = B． ? = C． = D．
3．一元二次方程x2?4x+4=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有一个实数根
C． 有两个相等的实数根 D． 没有实数根
4．如图，四边形纸片ABCD关于直线EF对称，∠BAD=50°，∠B=30°，那么∠BCD的度数是（ ）
A． 70° B． 80° C． 110° D． 130°
5．设一元二次方程x2?2x?4=0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（ ）
A． x1+x2=2 B． x1+x2=?4 C． x1x2=?2 D． x1x2=4
6．点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． （2，?3） B． （?2，3） C． （?2，?3） D． （2，3）
7．关于x的方程kx2+3x?1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． k≤ B． k≥? 且k≠0 C． k≥? D． k＞? 且k≠0
8．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，∠BCD=60°，则下列说法错误的是（ ）
A． 梯形ABCD是轴对称图形 B． BC=2AD
C． 梯形ABCD是中心对称图形 D． AC平分∠DCB
9．某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力：
根据图中信息，下列判断：
①该市08年共抽取了2000名九年级学生视力进行调查；
②若该市08年共有8万九年级学生，估计该市九年级视力不良（4.9以下）的学生大约有3200人；
③在被调查的学生中2007年视力在4.9以下的人数增长率低于2008年的人数增长率；
④若按06年到08年该市九年级视力不良（4.9以下）的学生人数的平均增长率计算，则估计到09年该市视力不良（4.9以下）的学生将不低于有52000人；
以上结论正确的是（ ）
A． ②③④ B． ①③④ C． ①②④ D． ①④
10．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（ ）
A． 10 ?15 B． 10?5 C． 5 ?5 D． 20?10
二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）
11．化简 = ．
12．太空探测器“先驱者10号”从发射到2003年2月人们收到它最后一次发回的信号时，它已飞离地球12 200 000 000km，用科学记数法表示这个距离为 km．
13．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
14．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，两车的距离y（千米）与慢车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则快车的速度为 ．
15．如图，已知直线y= x+2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y= 交于点C，A、D关于y轴对称，若S四边形OBCD=6，则k= ．
16．如图，四边形ABCD，∠BAD=90°，AB=BC=10，AD=5，AC=12，则CD= ．
三、解答题
17．解方程：x2?3x?2=0．
18．已知x= ?1，求x2?4x+6的值．
19．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB=DE，AB∥ED．AC∥FD
求证：AC=DF．
20．已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A（2，2），B（?1，m）；
（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出ax+b 中x的取值范围．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（?1，?1）．
（1）把△ABC向右平移3格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
（2）把△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2的图形并写出点B2的坐标；
（3）直接写出C到AB的距离 ．
22．已知关于x的方程
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
23．我市宣化素有“葡萄之乡”著称，某葡萄园有100株葡萄秧，每株平均产量为40千克，现准备多种一些以提高产量，但是如果多种葡萄秧，那么每株之间的距离和每株葡萄秧接受的阳光就会减少，根据实践经验，增加的株数与每株葡萄秧的产量之间的关系如下表所示：
增加的株数x（株） … 10 15 20 22 …
每株葡萄秧的产量y（千克） … 37.5 36.25 35 34.5 …
（1）请你用所学过的只是确定一个y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，求葡萄园的总产量P与x的函数关系式．
24．如图1，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，点F为边CD上一点，AE⊥AF交CB延长线于E．
（1）求证：AE=AF；
（2）如图2，M、N分别为AE、BC的中点，连接MN、DE，交于点Q，试判断QN和QE数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，连接EF交BD于H，连DE，若AB=8 ，BH=3，则DE= ．
25．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点A、B，与x、y轴交于C、D，且满足 +（a+ ）2=0．
（1）求反比例函数解析式；
（2）当AB=BC时，求b的值；
（3）如图2，当b=2 时，连OA，将OA绕点O逆时针旋转60°，使点A与点P重合，以点P为顶点作∠MPN=60°，分别交直线AB和x轴于点M、N，求证：PM平分∠AMN．
2014-2015学年湖北省武汉市七一中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共有10个小题，每小题3分）
1．使下列二次根式有意义的取值范围为x≥3的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分式的分母不能为0，针对四个选项进行分析即可．
解答： 解：A、x?3≥0，解得：x≥3，故此选项正确；
B、x+3≥0，解得：x≥?3，故此选项错误；
C、x+3＞0，解得：x＞?3，故此选项错误；
D、x?3＞0，解得：x＞3，故此选项错误；
故选：A．
点评： 此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．
2．下列计算正确的是（ ）
A． + = B． ? = C． = D．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： A、利用同类二次根式的定义即可判定；
B、利用同类二次根式的定义即可判定；
C、利用二次根式的除法法则计算即可判定；
D、利用二次根式的除法法则计算即可判定．
解答： 解：A、 + = +2≠ ，故选项错误；
B、 ? = ?2，故选项错误；
C、 = ，故选项正确；
D、 ，故选项错误．
故选C．
点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
3．一元二次方程x2?4x+4=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有一个实数根
C． 有两个相等的实数根 D． 没有实数根
考点： 根的判别式．
分析： 要判断方程x2?4x+4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解答： 解：∵a=1，b=?4，c=4，
∴△=16?16=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选C．
点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4．如图，四边形纸片ABCD关于直线EF对称，∠BAD=50°，∠B=30°，那么∠BCD的度数是（ ）
A． 70° B． 80° C． 110° D． 130°
考点： 轴对称的性质．
分析： 根据轴对称的性质可知．
解答： 解：依题意有∠BAC=∠DEC=0.5∠BAD=25°，∠B=30°，
故∠BCF=55°，
那么∠BCD的度数是∠BCF的2倍，
故∠BCD=110°．
故选C．
点评： 本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
5．设一元二次方程x2?2x?4=0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（ ）
A． x1+x2=2 B． x1+x2=?4 C． x1x2=?2 D． x1x2=4
考点： 根与系数的关系．
分析： 根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．
解答： 解：这里a=1，b=?2，c=?4，
根据根与系数的关系可知：x1+x2=? =2，x1•x2= =?4，
故选A
点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．
6．点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． （2，?3） B． （?2，3） C． （?2，?3） D． （2，3）
考点： 关于原点对称的点的坐标．
分析： 本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点．
解答： 解：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：
点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（?2，?3）．
故选C．
点评： 解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．关于x的方程kx2+3x?1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． k≤ B． k≥? 且k≠0 C． k≥? D． k＞? 且k≠0
考点： 根的判别式．
分析： 关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；
当方程为一元一次方程时，k=0；
是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2?4ac≥0．
解答： 解：当k=0时，方程为3x?1=0，有实数根，
当k≠0时，△=b2?4ac=32?4×k×（?1）=9+4k≥0，
解得k≥? ．
综上可知，当k≥? 时，方程有实数根；
故选C．
点评： 本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．
8．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，∠BCD=60°，则下列说法错误的是（ ）
A． 梯形ABCD是轴对称图形 B． BC=2AD
C． 梯形ABCD是中心对称图形 D． AC平分∠DCB
考点： 梯形．
专题： 压轴题．
分析： 利用已知条件，对四个选逐个验证，即可得到答案．
解答： 解：A、根据已知条件AB=CD，则该梯形是等腰梯形，等腰梯形是轴对称图形，正确；
B、过点D作DE∥AB交BC于点E，得到平行四边形ABED和等边三角形CDE．所以BC=2AD，正确；
C、根据中心对称图形的概念，等腰梯形一定不是中心对称图形，错误；
D、根据等边对等角和平行线的性质，可得AC平分∠BCD，正确．
故选C．
点评： 要熟悉这个上底和腰相等且底角是60°的等腰梯形的性质；理解轴对称图形和中心对称图形的概念．
9．某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力：
根据图中信息，下列判断：
①该市08年共抽取了2000名九年级学生视力进行调查；
②若该市08年共有8万九年级学生，估计该市九年级视力不良（4.9以下）的学生大约有3200人；
③在被调查的学生中2007年视力在4.9以下的人数增长率低于2008年的人数增长率；
④若按06年到08年该市九年级视力不良（4.9以下）的学生人数的平均增长率计算，则估计到09年该市视力不良（4.9以下）的学生将不低于有52000人；
以上结论正确的是（ ）
A． ②③④ B． ①③④ C． ①②④ D． ①④
考点： 折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： 根据折线统计图合扇形统计图所提供的数据，分别计算出08年共抽取的学生数以及各年份的增长率，再与给出的数据进行比较，即可得出正确答案．
解答： 解：①该市08年共抽取的九年级学生视力调查的总人数是：800÷40%=2000（人），故本选项正确；
②该市九年级视力不良（4.9以下）的学生大约总人数是：80000×40%=32000（人），故本选项错误；
③2007年视力在4.9以下的人数增长率为： ×100%=66.67%，2008年的人数增长率为 ×100%=60%，故本选项错误；
④设06年到08年该市九年级视力不良（4.9以下）的学生人数的平均增长率为x，根据题意得；
300×（1+x）2=800，
解得；x1= ?1，x2=? ?1（舍去），
则09年该市视力不良（4.9以下）的学生是：800×40%≈52267（人），将不低于有52000人，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
10．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（ ）
A． 10 ?15 B． 10?5 C． 5 ?5 D． 20?10
考点： 等边三角形的性质；勾股定理．
专题： 综合题；压轴题．
分析： 根据轴对称的性质可得AE=ED，在Rt△EDC中，利用60度角求得ED= EC，列出方程EC+ED=（1+ ）EC=5，解方程即可求解．
解答： 解：∵AE=ED
在Rt△EDC中，∠C=60°，ED⊥BC
∴ED= EC
∴CE+ED=（1+ ）EC=5
∴CE=20?10 ．
故选D．
点评： 本题考查等边三角形的性质，其三边相等，三个内角相等，均为60度．
二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）
11．化简 = ．
考点： 二次根式的性质与化简．
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的意义直接化简即可．
解答： 解： = =3 ．
故答案为：3 ．
点评： 本题考查二次根式的化简，需注意被开方数不含能开的尽方的因数．
12．太空探测器“先驱者10号”从发射到2003年2月人们收到它最后一次发回的信号时，它已飞离地球12 200 000 000km，用科学记数法表示这个距离为 1.22×1010 km．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
专题： 应用题．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解答： 解：12 200 000 000=1.22×1010km．
点评： 把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．
（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
13．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 20% ．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1?降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1?x），第二次后的价格是25（1?x）2，据此即可列方程求解．
解答： 解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1?x）2=16，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
点评： 本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“?”．
14．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，两车的距离y（千米）与慢车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则快车的速度为 150km/h ．
考点： 一次函数的应用．
分析： 假设快车的速度为a（km/h），慢车的速度为b（km/h）．当两车相遇时，两车各自所走的路程之和就是甲乙两地的距离，由此列式4a+4b=900①，另外，由于快车到达乙地的时间比慢车到达甲地的时间要短，图中的（12，900）这个点表示慢车刚到达甲地，这时的两车距离等于两地距离，而x=12就是慢车正好到达甲地的时间，所以，12b=900，①和②可以求出，快车速度．
解答： 解：设快车的速度为a（km/h），慢车的速度为b（km/h），
∴4（a+b）=900，
∵慢车到达甲地的时间为12小时，
∴12b=900，
b=75，
∴4（a+75）=900，
解得：a=150；
∴快车的速度为150km/h．
故答案为：150km/h．
点评： 此题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题目的数量关系得出b的值．
15．如图，已知直线y= x+2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y= 交于点C，A、D关于y轴对称，若S四边形OBCD=6，则k= ．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 求出A、B的坐标，求出D的坐标，求出AD、OB的值，设C的坐标是（x， x+2），根据已知得出S△ACD?S△AOB=6，推出 ×（4+4）×（ x+2）? ×4×2=6，求出C的坐标即可．
解答： 解：∵y= x+2，
∴当x=0时，y=2，
当y=0时，0= x+2，
x=?4，
即A（?4，0），B（0，2），
∵A、D关于y轴对称，
∴D（4，0），
∵C在y= x+2上，
∴设C的坐标是（x， x+2），
∵S四边形OBCD=6，
∴S△ACD?S△AOB=6，
∴ ×（4+4）×（ x+2）? ×4×2=6，
x=1，
x+2= ，
C（1， ），
代入y= 得：k= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积等知识点，主要考查学生的计算能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
16．如图，四边形ABCD，∠BAD=90°，AB=BC=10，AD=5，AC=12，则CD= ．
考点： 等腰三角形的性质；勾股定理．
分析： 作辅助线构建直角三角形，可得cos∠BAE= ，再根据三角函数求出AF，DF的长，从而得到CF的长．根据勾股定理即可求出CD的长．
解答： 解：过B点作BE⊥AC于E，过D点作DF⊥AC于F，
∵AB=BC=10，AC=12，
∴cos∠BAE= ，
∵∠BAD=90°，
∴sin∠DAE= ，
∵AD=5，
∴DF=3，
∴AF=4，
∴CF=12?4=8．
∴CD= = ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了解直角三角形、三角函数、勾股定理等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
三、解答题
17．解方程：x2?3x?2=0．
考点： 解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题．
分析： 公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求b2?4ac；④代入公式x= ．
解答： 解：∵a=1，b=?3，c=?2；
∴b2?4ac=（?3）2?4×1×（?2）=9+8=17；
∴x=
= ，
∴x1= ，x2= ．
点评： 本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．此法适用于任何一元二次方程．
18．已知x= ?1，求x2?4x+6的值．
考点： 二次根式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=（x?2）2+2，
当x= ?1时，原式=（ ?1+2）2+2=5+2 ．
点评： 此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB=DE，AB∥ED．AC∥FD
求证：AC=DF．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
专题： 证明题．
分析： 由两直线平行可得，两组内错角相等，又AB=DE，则△ABC≌△DEF（AAS），则AC=DF．
解答： 证明：∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
又AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF．
点评： 此题考查三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，难度不大．
20．已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A（2，2），B（?1，m）；
（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出ax+b 中x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： （1）将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由A与B的横坐标，以及0，将x轴分为四个范围，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可．
解答： 解：（1）将B（?1，m）代入反比例解析式得：m=?4，即B（?1，?4），
将A与B坐标代入y=ax+b中得： ，
解得： ，
则一次函数解析式为y=2x?2；
（2）由题意得：2x?2＞ 的x范围为?1＜x＜0或x＞2．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（?1，?1）．
（1）把△ABC向右平移3格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
（2）把△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2的图形并写出点B2的坐标；
（3）直接写出C到AB的距离 3 ．
考点： 作图-旋转变换；作图-平移变换．
专题： 作图题．
分析： （1）根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B1的坐标；
（2）根据网格结构找出点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B2的坐标；
（3）根据网格结构作出C到AB的垂线，再根据勾股定理列式计算即可得解．
解答： 解：（1）△A1B1C1如图所示，B1（2，?1）；
（2）△A2B2C2如图所示，B2（?1，?1）；
（3）点C到AB的距离为 =3 ．
故答案为：3 ．
点评： 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．已知关于x的方程
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
考点： 根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．
分析： （1）方程有两相等的实数根，利用△=0求出m的值．化简原方程求得方程的根．
（2）利用根与系数的关系x1+x2=? =4m?8，x1x2= =4m2，x12+x22=（x1+x2）2?2x1x2，代入即可得到关于m的方程，求出m的值，再根据△来判断所求的m的值是否满足原方程．
解答： 解：（1）∵a= ，b=?（m?2），c=m2方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即△=b2?4ac=[?（m?2）]2?4× ×m2=?4m+4=0，
∴m=1．
原方程化为： x2+x+1=0 x2+4x+4=0，（x+2）2=0，
∴x1=x2=?2．
（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
∵x1+x2=? =4m?8，x1x2= =4m2x12+x22=（x1+x2）2?2x1x2=（4m?8）2?2×4m2=8m2?64m+64=224，
即：8m2?64m?160=0，
解得：m1=10，m2=?2（不合题意，舍去），
又∵m1=10时，△=?4m+4=?36＜0，此时方程无实数根，
∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
点评： 总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
（4）△≥0时，根与系数的关系为： ．
23．我市宣化素有“葡萄之乡”著称，某葡萄园有100株葡萄秧，每株平均产量为40千克，现准备多种一些以提高产量，但是如果多种葡萄秧，那么每株之间的距离和每株葡萄秧接受的阳光就会减少，根据实践经验，增加的株数与每株葡萄秧的产量之间的关系如下表所示：
增加的株数x（株） … 10 15 20 22 …
每株葡萄秧的产量y（千克） … 37.5 36.25 35 34.5 …
（1）请你用所学过的只是确定一个y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，求葡萄园的总产量P与x的函数关系式．
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）由表格可以看出y随着x的增大而减少，而且从前面可以看出递减的速度是均匀的，因此此函数关系式是一次函数，设出函数解析式，进一步求得结论进行验证即可；
（2）利用葡萄园的总产量等于每一株的产量乘所种的株数列出函数解析式．
解答： 解：（1）由题意可设y=kx+b，
把（0，40）（10，37.5）代入解析式得
解得
∴y=? x+40；
把x=22代入得y=34.5，验证正确；
（2）P=（100+x）（? x+40）=? x2+15x+4000．
点评： 此题考查利用表格中数据的变化规律确定函数，代入数值求的函数，利用基本数量关系是解决问题的关键．
24．如图1，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，点F为边CD上一点，AE⊥AF交CB延长线于E．
（1）求证：AE=AF；
（2）如图2，M、N分别为AE、BC的中点，连接MN、DE，交于点Q，试判断QN和QE数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，连接EF交BD于H，连DE，若AB=8 ，BH=3，则DE= ．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°，AB=BC=AD=CD，再由已知条件证出∠BAE=∠DAF，由ASA证明△ABE≌△ADF，即可得出结论；
（2）连接OM、BM，OM交DE于F，连接NF，先证明OM是△ACE的中位线，得出OM∥BC，再证明四边形BNFM是平行四边形，得出FN=MB，由SAS证明△MEN≌△FNE，得出对应角相等∠MNE=∠FEN，即可得出结论；
（3）由正方形的性质求出BD，得出DH， ，设BM=3x，则DF=13x，得出 ，作FG∥CE，交AB于G，则 ，得出方程，解方程求出x，得出BE，再由勾股定理求出DE即可．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°，AB=BC=AD=CD，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF；
（2）解：QN=QE；理由如下：
连接OM、BM，OM交DE于F，连接NF，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，AD∥BC，AD=BC，
∵M是AE的中点，
∴OM是△ACE的中位线，
∴OM∥BC，
∴OM∥AD，
∴EF=DF，
∴MF是△ADE的中位线，
∴MF= AD，
∴MF= BC，
∵N是BC的中点，
∴BN= BC，
∴MF=BN，
∴四边形BNFM是平行四边形，
∴FN=MB，
∵∠ABE=90°，
∴MB= AE=ME，
∴FN=ME，
即四边形MENF是等腰梯形，
∴∠MEN=∠FNE，
在△MEN和△FNE中，
，
∴△MEN≌△FNE（SAS），
∴∠MNE=∠FEN，
∴QN=QE；
（3）解：如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD= AB= ×8 =16，AB∥CD，
∴DH=BD?BH=13， ，
设BM=3x，则DF=13x，
由（1）得：△ABE≌△ADF，BE=DF=13x，
∴ ，
作FG∥CE，交AB于G，
则△GFM∽△BEM，
∴ ，
即 ，
解得：x= ，
∴BE=5，
∴CE=5+8 ，
∴DE= = = ．
点评： 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和三角形相似才能得出结论．
25．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点A、B，与x、y轴交于C、D，且满足 +（a+ ）2=0．
（1）求反比例函数解析式；
（2）当AB=BC时，求b的值；
（3）如图2，当b=2 时，连OA，将OA绕点O逆时针旋转60°，使点A与点P重合，以点P为顶点作∠MPN=60°，分别交直线AB和x轴于点M、N，求证：PM平分∠AMN．
考点： 反比例函数综合题；二次根式的性质与化简；反比例函数与一次函数的交点问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： （1）由条件 +（a+ ）2=0即可求出k和a，即可解决问题．
（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，过点B作BF⊥OC，垂足为F，如图1，设点A（m， ），通过三角形相似可以用m表示出点B的坐标，将点A、B的坐标代入直线AB的解析式，就可求出m和b的值．
（3）易证△OAC和△OAP都是等边三角形，结合∠MPN=60°可以证到△PON≌△PAE以及△POD≌△PAM，从而得到PN=PE，PD=PM，进而证到△PED≌△PNM．由这几组全等三角形就可得到∠PMA=∠PDO=∠PMN，则有PM平分∠AMN．
解答： （1）解：∵ +（a+ ）2=0，
∴k? =0，a+ =0，
解得：k= ，a=? ，
∴反比例函数解析式为：y= ．
（2）解：过点A作AE⊥OC，垂足为E，过点B作BF⊥OC，垂足为F，如图1，
设点A（m， ），
∵AE⊥OC，BF⊥OC，
∴AE∥BF．
∴△CFB∽△CEA．
∴ = ．
∵AB=BC，∴AC=2BC．
∴AE=2BF．
∴BF= ．
∴OF= =2m．
∴点B（2m， ）．
∵一次函数y=? x+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点A、B，
∴ ．
解得： ．
∴b的值为 ．
（3）证明：延长AO与射线PN交于点D，连接AP，过点A作AH⊥OC，垂足为H，如图2，
联立 ．
解得： ．
∴点A的坐标为（1， ），OH=1，AH= ．
∴OA=2，∠AOH=60°．
由? x+2 =0得x=2，则OC=2．
∴OA=OC．
∴△OAC是等边三角形．
∴∠OAC=60°，OA=AC．
∵OP=OA，∠AOP=60°，
∴△AOP是等边三角形．
∴OP=AP，∠PAO=∠OPA=60°．
∵∠NPM=60°，
∴∠NPM=∠OPA．
∴∠NPO=∠EPA．
∵∠PON=180°?∠AOP?∠AOC=60°，
∴∠PON=∠PAE．
在△PON和△PAE中，
∴△PON≌△PAE（ASA）．
∴PN=PE．
同理可得：△POD≌△PAM．
∴PD=PM，∠PDO=∠PMA．
在△PED和△PNM中，
．
∴△PED≌△PNM（SAS）．
∴∠PDE=∠PMN．
∴∠PMA=∠PMN．
∴PM平分∠AMN．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、二次根式的性质等知识，综合性非常强，有一定的难度．而证出△POD≌△PAM和△PED≌△PNM是解决第三小题的关键．
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