第二十一章 一元二次方程检测题
(本检测题满分:100分,时间:90分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2015•贵州安顺中考)已知三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程 -12x+35=0的根,则该三角形的周长是( )
A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对
2. 方程(x-2)(x+3)=0的解是( )
A.x=2 B.x=-3
C.x1=-2,x2=3 D.x1=2,x2=-3
3.要使方程 + 是关于 的一元二次方程,则( )
A. B.
C. 且 D. 且
4.(2014 •江苏苏州中考)下列关于x的方程有实数根的是( )
A.x2-x+1=0 B.x2+x+1=0
C.(x-1)(x+2)=0 D.(x-1)2+1=0
5.已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则 的值是( )
A.7 B.-7
C.11 D.-11
6.从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条,剩下的面积是48 m2,则原来这块木板的面积是( )
A.100 m2 B.64 m2
C.121 m2 D.144 m2
7.(2015•兰州中考•4分)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是( )
A. = B. = C.1+2x= D.1+2x=
8. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是( )
A.438 =389 B.389 =438
C.389(1+2x)=438 D.438(1+2x)=389
9.关于 的一元二次方程 的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
10.已知 分别是三角形的三边长,则方程 的根的情况是( )
A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.若 是关于 的一元二次方程,则不等式 的解集是________.
12.(2015•兰州中考)若一元二次方程a -bx-2 015=0有一根为x=-1,则a+b
= .
13.若|b-1|+ =0,且一元二次方程k +ax+b=0(k≠0)有实数根,则k的取值范围是 .
14.若( 是关于 的一元二次方程,则 的值是________.
15.若 且 ,则一元二次方程 必有一个定根,它是_______.
16.若矩形的长是 ,宽是 ,一个正方形的面积等于该矩形的面积,则正方形的边长是_______.
17.(2015•浙江丽水中考•4分)解一元二次方程 时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程_________.
18.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,请写出一个符合题意的一元二次方程 .
三、解答题(共46分)
19.(6分)在实数范围内定义运算“ ”,其法则为: ,求方程(4 3) 的解.
20.(6分)(2015•福州中考)已知关于x的方程 +(2m 1)x+4=0有两个相等的实数根,求m的值.
21.(6分)在长为 ,宽为 的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长.
22.(6分)若方程 的两根是 和 ,方程 的正根是 ,试判断以 为边长的三角形是否存在.若存在,求出它的面积;若不存在,说明理由.
23.(6分)已知关于 的方程( 的两根之和为 ,两根之差为1,其中 是△ 的三边长.
(1)求方程的根;
(2)试判断△ 的形状.
24.(8分)(2014•南京中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为 .
(1)用含 的代数式表示第3年的可变成本为__________万元;
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分 率 .
25.(8分)李先生乘出租车去某公司办事,下车时,打出的电子收费单为“里程 千米,应收 元”.该城市的出租车收费标准按下表计算,请求出起步价 是多少元.
里程(千米)
价格(元)
第二十一章 一元二次方程检测题参考答案
1. B 解析:解方程 -12x+35=0得x=5或x=7.因为3+4=7,所以长度为3,4,7的线段不能组成三角形,故x=7不合题意,所以三角形的周长=3+4+5=12.
2. D 解析:由(x-2)(x+3)=0,得x-2=0或x+3=0,解得 =2, =-3.
3. B 解析:由 ,得 .
4. C 解析: 把A,B选项中a,b,c的对应值分别代入 中,A,B选项中 ,故A,B选项中的方程都没有实数根;而D选项中,由 得 -1,因为 ,所以 没有实数根;只有C选项中的方程有实数根.
5. A 解析:本题考查一元二次方程根与系数的关系.
可以把a和b看作是方程 -6x+4=0的两个实数根,
∴ a+b=6,ab=4,∴ 7.
点拨:一元二次方程根与系数的关系常见的应用有:验根、确定根的符号;求与根相关的代数式的值;由根求出新方程等.
6.B 解析:设原来正方形木板的边长为x m.
由题意,可知x(x-2)=48,即x2-2x-48=0,
解得x1=8,x2=-6(不合题意,舍去).
所以原来这块正方形木板的面积是8×8=64(m2).
点拨:本题考查了一元二次方程的应用,理解从一块正方形木板上锯掉2 m宽的长方形木条,剩下的仍然是一个长方形,是解本题的关键.
7. B 解析:设此股票原价为a元,跌停后的价格为0.9a元.
如果每天的平均增长率为x,经过两天涨价后的价格为0.9a ,
于是可得方程0.9a =a,即x满足的方程是 = .
8. B 解析:由每半年发放的资助金额的平均增长率为x,
得去年下半年发放给每个经济困难学生389(1+x)元,
今年上半年发放给每个经济困难学生389(1+x)(1+x)=389 (元),
根据关键语句“今年上半年发放了438元”,可得方程389 =438.
点拨:关于增长率问题一般列方程a(1+x)n=b,其中a为基础数据,b为增长后的数据,n为增长次数,x为增长率.
9. A 解析:因为 +
4>0,所以方程有两个不相等的实数根.
10.A 解析:因为
又因为 分别是三角形的三边长,
所以
所以 所以方程没有实数根.
11. 解析:不可忘记 .
12.2 015 解析:把x= -1代入方程中得到a+b-2 015=0,即a+b=2 015.
13.k≤4且k≠0 解析:因为|b-1|≥0, ≥0,
又因为|b-1|+ =0,所以|b-1|=0, =0,
即b-1=0,a-4=0,所以b=1,a=4.
所以一元二次方程k +ax+b=0变为k +4x+1=0.
因为一元二次方程k +4x+1=0有实数根,
所以Δ=16-4k≥0,解得k≤4.
又因为k≠0,所以k≤4且k≠0.
14. 解析:由题意得 解得 或 .
15.1 解析:由 ,得 ,
原方程可化为 ,
解得 .
16. 解析:设正方形的边长为 ,
则 ,解得 ,
由于边长不能为负,故 舍去,
故正方形的边长为 .
17. 或 解析:将 分解因式,得 .
, ,则有 或 .
18. x2-5x+6=0(答案不唯一) 解析:设Rt△ABC的两条直角边的长分别为a,b.因为 S△ABC=3,所以ab=6.又因为一元二次方程的两根为a,b(a>0,b>0),所以符合条件的一元二次方程为(x-2)(x-3)=0或(x-1)(x-6)=0等,即x2-5x+6=0或x2-7x+6=0等.
19.解:∵ ,
∴ .
∴ ,∴ ,∴ .
20. 解:∵ 关于x的方程 +(2m 1)x+4=0有两个相等的实数根,
∴ Δ= 4×1×4=0,
∴ 2m 1=±4,∴ m= 或m= .
点拨:判断一元二次方程根的情况时要分 4ac(即Δ)的值大于零、等于零、小于零三种情况来判断.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.特别地,当Δ≥0时,方程有两个实数根.反之亦成立.
21.解:设小正方形的边长为 .
由题意,得
解得
所以截去的小正方形的边长为 .
22.解:解方程 ,
得 .
方程 的两根是 .
所以 的值分别是 .
因为 ,
所以以 为边长的三角形不存在.
点拨:先解这两个方程,求出方程的根,再用三角形的三边关系来判断.
23.解:(1)设方程的两根为 ,
则
解得
(2)当 时, ,
所以 .
当 时,
所以 .
所以 .所以△ 为等边三角形.
24.解:(1) .
(2)根据题意,得 .
解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).
故可变成本平均每年增长的百分率是10%.
25.解:依题意,得 ,
整理,得 ,
解得 .
由于 ,所以 舍去,
所以 .
答:起步价是10元.
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